921 D(数学期望)
一道对于理解期望性质有帮助的好题。
做法1：由于期望是线性的，因此答案的期望值应等于每轮期望值的总和。因此可以模拟整个过程，实时计算每轮的期望值并加和，即为最终经过 \(k\) 轮后的总期望值。初始期望值 \(E(X)=\frac{sum}{C_{n}^{2}}\)。在此后的每一轮，期望值会增加 \(\frac{m}{C_{n}^{2}}\)（每一轮有 \(\frac{m}{C_{n}^{2}}\) 的概率使得当前贡献加 \(1\)，可理解为每一轮可以使期望值加\(\frac{m}{C_{n}^{2}}\)）。
做法2：由期望线性的性质，可以将答案拆解为两部分：
- 初始值对期望的贡献
- 后续每轮对期望的贡献
情况 \(1\) 其实等价于每轮选择一对后，权值保持不变。显然每轮的期望值都是\(\frac{sum}{C_{n}^{2}}\)，因此情况 \(1\) 的总贡献为 \(k * \frac{sum}{C_{n}^{2}}\)。
对于情况 \(2\)，若想用等差数列形式来累加贡献，就需要对每一个人单独考虑——即讨论每个人被选择了多少轮。对于其中的 \(m\) 对朋友中的某一个（注意要单拎出来，这点很重要！！！），每次选择都会让其贡献值加 \(1\)，因此经过 \(i\) 轮，其贡献值增加了 \(\frac{i*(i-1)}{2}\) 。而有 \(i\) 轮被选中的概率可用二项分布来计算：$C_{k}^{i} * (\frac{1}{C_{n}{2}}) * (\frac{C_{n}^{2} - 1}{C_{n}{2}}) \(。其他非朋友关系的对被选中不会产生贡献，因此不用计算。\)m$ 对朋友关系的贡献都是相同的，因此情况 \(2\) 的总贡献可表示为：
\[m * \sum_{i=0}^{k}C_{k}^{i} * (\frac{1}{C_{n}^{2}})^{i} * (\frac{C_{n}^{2} - 1}{C_{n}^{2}})^{k - i}*\frac{i*(i-1)}{2}
\]
二者累加即为答案。
code1
code2
