专题：概率+数列 题型：马尔可夫链 难度系数：★★★★
题目
（25 年湛江一模第 19 题）甲参加了一场智力问答游戏，每轮游戏均有两类问题（难度系数较低的\(A\)类问题以及难度系数较高的\(B\)类问题）供选择，且每轮游戏只回答两类问题中的其中一个问题。甲遇到每类问题的概率均为\(\frac{1}{2}\)。甲遇到\(A\)类问题时回答正确的概率为\(\frac{1}{2}\)，回答正确记 1 分，否则记 0 分；甲遇到\(B\)类问题时回答正确的概率为\(\frac{1}{4}\)，回答正确记 2 分，否则记 0 分。总得分记为\(X\)分．甲回答每个问题相互独立．
（1）当进行完 2 轮游戏时，求甲的总分\(X\)的分布列与数学期望．
（2）设甲在每轮游戏中均回答正确且累计得分为\(n\)分的概率为\(G(n)\)．
（i）证明：\(\left\{G(n+1)-\frac{1}{2} G(n)\right\}\)为等比数列。
（ii）求$G(n)$的最大值以及对应$n$的值．
解析
第一问
遇到类似很多种情况的概率问题，可以用列表或树状图的形式梳理，避免拉下某种情况：
若能做到思路清晰，也没必要这样做．
\(X\)的取值可能是\(0,1,2,3,4\)，
每次回答\(A\)类问题且答对的概率为\(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}\)，
回答\(A\)类问题且答不对的概率为\(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}\)．
每次回答\(B\)类问题且答对的概率为\(\frac{1}{2} \times \frac{1}{4}=\frac{1}{8}\)，
回答\(B\)类问题且答不对的概率为\(\frac{1}{2} \times \frac{3}{4}=\frac{3}{8}\)．
\(P(X=0)=\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}+\frac{3}{8} \times \frac{3}{8}+2 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{8}=\frac{25}{64} ; P(X=1)=\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} \times 2+\frac{1}{4} \times \frac{3}{8} \times 2=\frac{5}{16} ;\)
\(P(X=2)=\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}+\frac{1}{8} \times \frac{3}{8} \times 2+\frac{1}{4} \times \frac{1}{8} \times 2=\frac{7}{32} ; P(X=3)=\frac{1}{4} \times \frac{1}{8} \times 2=\frac{1}{16}\)；
\(P(X=4)=\frac{1}{8} \times \frac{1}{8}=\frac{1}{64}\)．
\(X\)的分布列为：
| \(X\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(P\) | \(\frac{25}{64}\) | \(\frac{5}{16}\) | \(\frac{7}{32}\) | \(\frac{1}{16}\) | \(\frac{1}{64}\) |
\(E(X)=0 \times \frac{25}{64}+1 \times \frac{5}{16}+2 \times \frac{7}{32}+3 \times \frac{1}{16}+4 \times \frac{1}{64}=1\).
第二问
典型的马尔可夫链问题，只要梳理好题意．
（i）
\(G(1)=\frac{1}{4}, G(2)=\frac{1}{8}+\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}=\frac{3}{16}\)（一次答对 \(B\) 类题，两次答对 \(A\) 类题）．
由题意得甲累计得分为\(n\)分的前一轮得分只能为\((n-1)\)分或\((n-2)\)分，
故当\(n \geqslant 3\)时，\(G(n)=\frac{1}{4} G(n-1)+\frac{1}{8} G(n-2)\)，
（要得到 \(n\) 分，由 \(n-2\) 分再答对一次 \(B\) 类题或 \(n-1\) 分时再答对一次 \(A\) 类题）
所以\(G(n)-\frac{1}{2} G(n-1)=-\frac{1}{4} G(n-1)+\frac{1}{8} G(n-2)=-\frac{1}{4}\left[G(n-1)-\frac{1}{2} G(n-2)\right]\)，
（证明等比数列，利用定义法；若要构造，则利用待定系数法也可）
所以\(\left\{G(n+1)-\frac{1}{2} G(n)\right\}\)是以\(\frac{1}{16}\)为首项，\(\frac{1}{4}\)为公比的等比数列．
（ii）
要求 \(G(n)\) 的最值，可以由（i）可得到数列 \(\{G(n)\}\) 的递推公式，进而求出 \(G(n)\) 通项公式，在利用数列的单调性或构造函数分析单调性求最值．如何由三项递推公式求出通项公式是个难点，以下给出两个方法．
方法 1
根据（1）可知，\(G(n+1)-\frac{1}{2} G(n)=\frac{1}{16} \times\left(-\frac{1}{4}\right)^{n-1}=\left(-\frac{1}{4}\right)^{n+1}(1)\)．
由\(G(n)=\frac{1}{4} G(n-1)+\frac{1}{8} G(n-2)\)，
也可得\(G(n)+\frac{1}{4} G(n-1)=\frac{1}{2} G(n-1)+\frac{1}{8} G(n-2)=\frac{1}{2}\left[G(n-1)+\frac{1}{4} G(n-2)\right]\)，
所以\(\left\{G(n+1)+\frac{1}{4} G(n)\right\}\)是以\(\frac{1}{4}\)为首项，\(\frac{1}{2}\)为公比的等比数列，
（由递推公式 \(G(n)=\frac{1}{4} G(n-1)+\frac{1}{8} G(n-2)\) 可构造出两个等比数列）
所以\(G(n+1)+\frac{1}{4} G(n)=\frac{1}{4} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\)（2）．
令（2）－（1）可得\(\frac{3}{4} G(n)=\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}-\left(-\frac{1}{4}\right)^{n+1}\)，
所以\(G(n)=\frac{1}{3} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}+\frac{1}{3} \times\left(-\frac{1}{4}\right)^{n}\)．（数形结合，显然是个摆动数列）
经检验\(n=1, n=2\)时均满足上式，故\(G(n)=\frac{1}{3} \times\left[\left(-\frac{1}{4}\right)^{n}+\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right]\)，
所以\(G(n)=\frac{1}{3} \times\left[\left(-\frac{1}{4}\right)^{n}+\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right] \leqslant \frac{1}{3} \times\left[\left(\frac{1}{4}\right)^{n}+\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right]\)，
而\(\frac{1}{3} \times\left[\left(\frac{1}{4}\right)^{n}+\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right]\)显然随着\(n\)的增大而减小，
故\(G(n) \leqslant \frac{1}{3} \times\left[\left(\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{1}{2}\right]=\frac{3}{16}=G(2)(n \geqslant 2)\)．
又因为\(G(1)>G(2)\)，
所以当\(n=1\)时，\(G(n)\)取到最大值，为\(\frac{1}{4}\)．
方法2 迭代
求\(G(n)\)通项公式可用迭代，其他地方的求解如方法 1 ．
\(G(n+1)\)
\(=\frac{1}{2} G(n)+\left(-\frac{1}{4}\right)^{n+1}\)
\(=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2} G(n-1)+\left(-\frac{1}{4}\right)^{n}\right]+\left(-\frac{1}{4}\right)^{n+1}=\frac{1}{2^{2}} G(n-1)+(-2) \cdot\left(-\frac{1}{4}\right)^{n+1}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{n+1}\)
\(=\frac{1}{2^{2}}\left[\frac{1}{2} G(n-2)+\left(-\frac{1}{4}\right)^{n-1}\right]+(-2) \cdot\left(-\frac{1}{4}\right)^{n+1}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{n+1}\)
\(=\frac{1}{2^{3}} G(n-2)+(-2)^{2} \cdot\left(-\frac{1}{4}\right)^{n+1}+(-2) \cdot\left(-\frac{1}{4}\right)^{n+1}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{n+1}\)
\(=\frac{1}{2^{2}} G(1)+\left[(-2)^{n-1}+\cdots+(-2)^{2}+(-2)+1\right] \cdot\left(-\frac{1}{4}\right)^{n+1}\)
\(=\frac{1}{3} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{n}+\frac{1}{3} \times\left(-\frac{1}{4}\right)^{n+1}\).
所以\(G(n)=\frac{1}{3} \times\left[\left(-\frac{1}{4}\right)^{n}+\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right]\)．
