向量相交点推导笔记

news/2025/3/15 17:36:25/文章来源:https://www.cnblogs.com/majiao61/p/18773950
  • 学习笔记-向量相交推导
    • 已知A、B、C、D这4个点的坐标(已知两个向量),求出直线AB、直线CD的交点坐标Ⅰ
      
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    • 题目来源:北师大版本高中选修4-2的P22的B组第三题
      • $ \begin{aligned} & 求A组第7题中两直线的交点坐标. \\ & \ \ 1. 过点M(3,-1),平行于向量α= \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}; \\ & \ \ 2. 经过A(2,0),B(0,-1)两点 \\ \end{aligned} $
    • 查找到这篇博客讲的好https://www.cnblogs.com/zhb2000/p/vector-cross-product-solve-intersection.html
      • 推导copy
        • (p2I)×v2=0(p2(p1+tv1))×v2=0(p2p1)×v2tv1×v2=0(p2p1)×v2=t(v1×v2)t=|(p2p1)×v2||v1×v2|
      • $ \begin{aligned}& 首先想办法把\textcolor{#0000FF}{向量Ⅰ}表示出来,\\ & 博客中提到的“\textcolor{green}{将点和向量统一表示}”可以用\textcolor{red}{三角形法则}来理解 \\ & \ \ \ \ 1. 这里的\textcolor{red}{t}是未知数,向量AB可以通过伸缩\textcolor{red}{t}倍后变成\textcolor{red}{向量AⅠ} \\ & \ \ \ \ 2. 引入了一个未知数\textcolor{red}{t},就需要一个方程(左边有未知数t,右边\textcolor{red}{只有}已知数),才能求解出t的值 \\ & \ \ \ \ \ \ \ 博客里的证明是带入了\textcolor{green}{向量u \ 叉乘 \ 向量v = 0, 其中u、v共线} 这条性质,来得到的方程 \end{aligned} $

        $ \begin{aligned}& \\ \\ & 当得到了交点的表达式后,可以得到另一条直线上的\textcolor{#00CCCC}{向量CⅠ} \\ & 当点Ⅰ和点C都可以表达后,\textcolor{#00CCCC}{向量CⅠ}可以用\textcolor{green}{终点-起点}得到(或则用外面那个大的三角形OCⅠ来得到) \\ \end{aligned} $

      • $ \begin{aligned}& 利用性质\textcolor{green}{当向量u、v共线时,向量u叉乘向量v等于0}的性质引入方程,一个未知数t和一个方程,可以求出未知数t \\ \end{aligned}\\ \\ \begin{aligned}(\textcolor{#00CCCC}{向量CI}) \ \times \ (向量CD) &= 0 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ ① 利用性质\textcolor{green}{当向量u、v共线时,向量u叉乘向量v等于0} \times 是叉乘\\ [[\textcolor{#FF00FF}{向量OA} + \textcolor{red}{(t*向量AB)}] - \textcolor{#A680B8}{向量OC}] \ \times \ (向量CD) &= 0 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ ②展开向量CI \\ [(\textcolor{#FF00FF}{向量OA} - \textcolor{#A680B8}{向量OC}) + \textcolor{red}{(t*向量AB)} ] \ \times \ (向量CD) &= 0 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ ②向量加法交换律 \\ [(\textcolor{#FF00FF}{向量OA} - \textcolor{#A680B8}{向量OC}) \times 向量CD] + [\textcolor{red}{(t*向量AB)} \times \ 向量CD] &= 0 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ ③左边使用叉乘右分配律 :(\vec{α}+\vec{β}) \times \vec{c} = (\vec{α} \times \vec{c}) + (\vec{β} \times \vec{c}) \\ [\textcolor{red}{(t*向量AB)} \times \ 向量CD] &= - \ [(\textcolor{#FF00FF}{向量OA} - \textcolor{#A680B8}{向量OC}) \times 向量CD] & \ \ \ \ \ \ \ \ \ 移项 \\ t*(向量AB \times \ 向量CD) &= - \ [(\textcolor{#FF00FF}{向量OA} - \textcolor{#A680B8}{向量OC}) \times 向量CD] & \ \ \ \ \ \ \ \ \ 左边交换:标量叉乘(向量先伸长t倍再叉乘=向量先叉乘求面积再乘t倍\\ t \ &= \ \frac{- \ [(\textcolor{#FF00FF}{向量OA} - \textcolor{#A680B8}{向量OC}) \times 向量CD] }{向量AB \times \ 向量CD} & \ \ \ \ \ \ \ \ \ 这里前面有个负号,因为我取的是向量CI,上方博客里取的是向量IC \\ & & \ \ \ \ \ \ \ \ \ 右边:全是已知数 \\ \end{aligned} $

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