Description
定义一个长度为 \(2^k\) 的序列 \([a_0,a_1,\cdots,a_{2^k-1}]\) 蝶变之后的结果为 \([a_{\operatorname{rev}(0)},a_{\operatorname{rev}(1)},\cdots,a_{\operatorname{rev}(2^k-1)}]\)，其中 \(\operatorname{rev}(i)\) 表示将 \(i\) 的二进制表示下最低 \(k\) 位翻转（reverse）后得到的结果。更为具体地说，令 \(i=\overline{b_kb_{k-1}\cdots b_1}\)，则 \(\operatorname{rev}(i)=\overline{b_1b_{2}\cdots b_k}\)。
定义一个长度为 \(2^k\) 的序列是美的，当且仅当蝶变后的序列与原序列相同。
给定一个长度为 \(N\) 的字符串 \(s\)，字符集为小写英文字母。\(Q\) 次询问给定 \(i,k\)，问 \(s[i:i+2^k-1]\) 是否是美的。
\(1\le N,Q\le 5\times 10^5\)。
Solution
首先显然是用哈希判定。
设 \(f_k(i,B)\) 表示 \([a_i,a_{i+1},\ldots,a_{i+2^k-1}]\) 变换后的底数是 \(B\) 的哈希值，可以得到方程：
\[f_k(i,B)=f_{k-1}(i,B^2)+B\cdot f_{k-1}(i+2^{k-1},B^2)
\]
观察到只有 \(O(\log n)\) 种底数，所以可以得到一个时空 \(O(n\log^2n)\) 的做法。
但是注意到区间长度除以 \(2\) 后指数会乘 \(2\)，所以可以将 \(f_k(i,B)\) 的指数固定为 \(B^{2^{25-k}}\)，这样每次就可以 \(O(1)\) 转移了。
时间复杂度：\(O(n\log n)\)。
Code
#include <bits/stdc++.h>
#include "brperm.h"#ifdef ORZXKR
#include "grader.cpp"
#endifconst int kMaxN = 5e5 + 5, kMod = 998244353;int n, base = 114514;
int bs[20], hs[20][kMaxN], f[20][kMaxN];
std::string str;int qpow(int bs, int64_t idx = kMod - 2) {int ret = 1;for (; idx; idx >>= 1, bs = (int64_t)bs * bs % kMod)if (idx & 1)ret = (int64_t)ret * bs % kMod;return ret;
}inline int add(int x, int y) { return (x + y >= kMod ? x + y - kMod : x + y); }
inline int sub(int x, int y) { return (x >= y ? x - y : x - y + kMod); }
inline void inc(int &x, int y) { (x += y) >= kMod ? x -= kMod : x; }
inline void dec(int &x, int y) { (x -= y) < 0 ? x += kMod : x; }void init(int n, const char s[]) {::n = n;str.resize(n + 1);for (int i = 1; i <= n; ++i) str[i] = s[i - 1];for (int i = 0; i <= 19; ++i) {bs[i] = qpow(base, 1 << (30 - i));for (int j = 1, pw = bs[i]; j <= n; ++j, pw = 1ll * pw * bs[i] % kMod)hs[i][j] = add(hs[i][j - 1], 1ll * pw * (int)str[j] % kMod);}for (int i = 1; i <= n; ++i) f[0][i] = str[i];for (int i = 1; i <= std::__lg(n); ++i)for (int j = 1; j <= n - (1 << i) + 1; ++j)f[i][j] = add(f[i - 1][j], 1ll * bs[i] * f[i - 1][j + (1 << (i - 1))] % kMod);
}int query(int i, int k) {++i;if (k > std::__lg(n - i + 1)) return 0;return 1ll * sub(hs[k][i + (1 << k) - 1], hs[k][i - 1]) * qpow(qpow(bs[k]), i) % kMod == f[k][i];
}
