红黑树的规则
红黑树通过以下 5条规则 保持平衡：
- 颜色规则：每个节点是 红色 或 黑色。
- 根节点规则：根节点必须是 黑色。
- 叶子节点规则：叶子节点（NIL 节点，空节点）是 黑色。
- 红色节点规则：红色节点的子节点必须是 黑色（即不能有连续的红色节点）。
- 黑色高度规则：从任意节点到其所有叶子节点的路径上，黑色节点的数量相同（称为 黑高）。
红黑树的插入与修复
当插入一个新节点时，红黑树可能违反规则，需要通过 颜色调整 和 旋转 来修复。
4.1 插入步骤
- 按BST规则插入：新节点初始为 红色（减少对黑高的影响）。
- 修复颜色冲突：如果父节点是红色，违反规则4，需要调整。
4.2 修复操作的3种情况
- Case 1：叔叔节点是红色。
- 将父节点和叔叔节点变为黑色，祖父节点变为红色。
- Case 2：叔叔节点是黑色，且新节点是父节点的右子节点。
- 对父节点左旋，转为 Case 3。
- Case 3：叔叔节点是黑色，且新节点是父节点的左子节点。
- 将父节点变黑，祖父节点变红，然后对祖父节点右旋。
举例：
以下是向 `std::map`（底层红黑树）中插入节点的详细过程示例。假设我们要依次插入键 `10`、`20`、`30`、`5`、`15`，并逐步展示红黑树的调整过程。
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### **插入步骤详解**
#### **1. 插入第一个节点 `10`**
• **规则**：根节点必须是黑色。
• **操作**：直接插入为根节点，颜色设为黑色。
• **树结构**：
```plaintext
10(B)
/ \
NIL NIL
```
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#### **2. 插入第二个节点 `20`**
• **插入规则**：新节点初始为红色。
• **操作**：`20` 作为 `10` 的右子节点插入，颜色为红色。
• **检查冲突**：父节点 `10` 是黑色，没有违反规则。
• **树结构**：
```plaintext
10(B)
/ \
NIL 20(R)
/ \
NIL NIL
```
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#### **3. 插入第三个节点 `30`**
• **插入位置**：`30` 作为 `20` 的右子节点插入，颜色为红色。
• **冲突检查**：
• 父节点 `20(R)` 是红色，违反规则4（红色节点的子节点必须为黑色）。
• 叔叔节点是 `NIL`（黑色，属于规则3的叶子节点）。
• **修复操作**：进入 **Case 2 → Case 3**。
##### **Case 2：叔叔节点是黑色，新节点是父节点的右子节点**
• **操作**：对父节点 `20(R)` 左旋。
• **旋转后结构**：
```plaintext
10(B)
\
30(R)
/
20(R)
```
##### **Case 3：叔叔节点是黑色，新节点是父节点的左子节点**
• **操作**：
1. 将父节点 `30(R)` 变为黑色。
2. 将祖父节点 `10(B)` 变为红色。
3. 对祖父节点 `10(B)` 右旋。
• **最终结构**：
```plaintext
20(B)
/ \
10(R) 30(R)
```
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#### **4. 插入第四个节点 `5`**
• **插入位置**：`5` 作为 `10(R)` 的左子节点插入，颜色为红色。
• **冲突检查**：
• 父节点 `10(R)` 是红色。
• 叔叔节点是 `30(R)`（红色）。
• **修复操作**：进入 **Case 1**。
##### **Case 1：叔叔节点是红色**
• **操作**：
1. 将父节点 `10(R)` 和叔叔节点 `30(R)` 变为黑色。
2. 将祖父节点 `20(B)` 变为红色。
• **最终结构**：
```plaintext
20(R)
/ \
10(B) 30(B)
/
5(R)
```
---
#### **5. 插入第五个节点 `15`**
• **插入位置**：`15` 作为 `10(B)` 的右子节点插入，颜色为红色。
• **冲突检查**：
• 父节点 `10(B)` 是黑色，没有冲突。
• **树结构**：
```plaintext
20(R)
/ \
10(B) 30(B)
/ \
5(R) 15(R)
```
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### **最终红黑树验证**
1. **根节点为黑色**：当前根节点 `20` 是红色（违反规则2）→ **需要修复**。
• **修复**：将根节点强制设为黑色。
```plaintext
20(B)
/ \
10(R) 30(B)
/ \
5(R) 15(R)
```
2. **红色节点规则**：
• `10(R)` 的子节点 `5(R)` 和 `15(R)` 违反规则4（红色节点不能有红色子节点）→ **需要修复**。
3. **修复 `10(R)` 的子节点冲突**：
• 选择 `5(R)` 或 `15(R)` 进行修复，以 `5(R)` 为例：
◦ 父节点 `10(R)` 是红色，叔叔节点 `30(B)` 是黑色。
◦ 进入 **Case 2 → Case 3**。
◦ **最终结构**：
```plaintext
20(B)
/ \
15(B) 30(B)
/
10(R)
\
5(R)
```
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### **关键点总结**
1. **插入新节点**：初始为红色，按BST规则插入。
2. **冲突修复**：
• **Case 1**：叔叔节点是红色 → 颜色翻转。
• **Case 2**：叔叔节点是黑色，且新节点是右子节点 → 左旋。
• **Case 3**：叔叔节点是黑色，且新节点是左子节点 → 右旋 + 颜色调整。
3. **根节点强制黑色**：最终确保根节点为黑色。
通过上述步骤，红黑树始终保持平衡，确保 `std::map` 的插入、删除和查找操作高效（`O(log n)`）。
