第二十一章 项目管理科学基础（2025年详细解析版）

目录

• 导学
• 21.1 工程经济学
  • 资金的时间价值与等值计算
    • 定义
    • 常识
    • 现在值与将来值
    • 等值计算
    • 问题
  • 单利法与复利法 (利滚利）
    • 单利法
    • 复利法
    • 承兑汇票
    • 示例
  • 项目经济静态评价方法
    • 什么叫回收期?
    • 什么叫静态?
    • 静态投资回收期
      • 例题(必须掌握)
    • 投资收益率
      • 定义
      • 公式
      • 例题
  • 项目经济动态评价方法
    • 什么是动态评价
      • 定义
    • 主要方法
      • 净现值法
        • 定义
        • 公式
        • 净现值判定标准
        • 例题
        • 净现值法的优点
        • 净现值法的缺点
      • 净现值率法
        • 定义
        • 净现值率
        • 净现值率判定标准
        • 例题
      • 费用现值法
        • 定义
        • 例题
      • 动态投资回收期(必须掌握)
        • 定义
        • 公式
        • 例题
        • 高项2019上第69、70题
      • 内部收益率法(理解)
        • 定义
        • 公式
• 22.2 运筹学
  • 线性规划
    • 关于线性规划
      • 主要研究问题
      • 本质
      • 要素
    • 例题
      • 高级2019下66、67题
      • 解析
        • 第66题
        • 第67题
  • 运输问题
    • 关于运输问题
      • 定义
      • 解决方法
      • 例题
        • 高项2023年11月
      • 解析
        • 伏哥尔求解
      • 答案
  • 指派问题
    • 关于指派问题
      • 定义
      • 解决方法：匈牙利法
    • 例题
      • 高项2014
      • 解析
      • 答案
  • 动态规划
    • 最短路径
      • 例题
        • 教材上例21-12（多阶段决策问题）
        • 解析
        • 答案
    • 资源分配
      • 资源分配问题
      • 例题
        • 教材【例21-13】
        • 解析
  • 图与网络
    • 最短路径
      • 标号法
        • 定义
        • 问题
      • 上图标号结果
      • 例题
        • 高项2023上69、70题
        • 解析
        • 答案
    • 最小生成树(需要掌握)
      • 最小生成树原理
        • 定义
        • 总结
        • 例题
          • 高项2023年下、2019下68题
          • 解析
          • 答案
  • 博弈论
    • 博弈论原理
      • 定义
      • 举例
      • 例题
        • 教材【例21-16】
        • 解析
        • 教材【例21-17】
        • 解析
  • 决策分析
    • 不确定型决策
      • 例题
    • 悔值决策法(考的概率高)
      • 例题
        • 2023年11月
        • 解析
        • 答案
    • 风险型决策
      • 期望值决策法
      • 期望值与标准差决策法
        • 公式
      • 最小悔值与期望值决策法(考的概率高)
        • 题目
        • 解析
• 单词

导学

• 工程经济学实际上就是计算题,可以认为是计算题的专题,工程经济学的内容基本上都要掌握,关于运筹学基本上一定出现在上午的题,会有一些难题,比如:线性规划,动态规划,还有图论等.
• 运筹学觉得大家不需要完全都掌握,运筹学里建议7个技术掌握3个就可以,另外4个就是猜蒙法,比如线性规划题目,如果非常认真用草稿纸计算的话,没有十分八分钟算不出来,学知识是好事,但是建议大家为了考试很多地方要猜蒙.

21.1 工程经济学

资金的时间价值与等值计算

定义

• 资金的时间价值是指不同时间发生的等额资金在价值上的差别.(随着不同的时间钱或者资金的价值是有差别的.)

常识

• 今天的100元钱比明天的100元钱更值钱
• 至少你可以将100元钱存入银行！

现在值与将来值

名称	翻译	单词
P	现在值	Present Value
F	将来值	Future Value
转换公式	P=F/(1+i)N
i	利率	Interest Rate
n	时间期数	Number of time period

• 现在值不用记缩写,会跟PV混淆,现在的100块钱放银行,过三年银行会多给两块钱就是102块钱,102就是将来值.

• 利率跟将来值和现值,三者之间是有一个计算公式:  P = F / ( 1 + i )^N

等值计算

• 比较项目方案时，各项投资或收益往往发生在不同的时期，必须将其按照一定的利率折算至某一相同时点( 等值计算 )，使之具有可比性。(各项投资或者收益,就是投出去的钱和项目给你赚来的钱,往往发生在不同时期.比如: 开店铺可能第一年投入多少收回多少,第二年投入多少收回多少,周期很长有5年或者10年,没有一个基准,所以一般来讲把第一年之后所有每一年的钱都折到现在点.未来的钱相当于现在的多少钱,好比较整个投出去多少收入多少,是不是赚钱了,所以必然要求有各个年份的可比性,这种计算就叫等值计算.换句话说,公式就是在做等值计算.)

问题

• 老板答应两年后给你10万元奖金(Bonus)，你该怎么办？（假设利率 i = 10%）

P = F/(1+i)ⁿ = 100000 / (1+10%)² = 82645 (元)

• 根据资金的时间价值,带入公式,计算下未来的十万块,现在是多少钱,所以两年之后,兑现到现在的现值就是8万多块钱,回应领导,让您破费了你干脆现在给8万五,资金时间价值要有一个利息的概念.

未来某一时点的资金金额换算成现在时点的等值金额的过程称为 " 折现 " 或 " 贴现 " . (一般来说两年或者三年之后的资金换算成现在时间的等额金额,计算两年后的10万块钱相当于现在8万多这件事的过程,就叫折现或者贴现.折现有一个折现率,还叫利率.从做题角度讲,折现率就是利率.)

单利法与复利法 (利滚利）

• 利息或利润是占用(利用)资金的代价(成本)，或者是放弃资金的使用所获得的补偿.(占用别人资金的代价就是利息,例如: 向别人借了10万块钱,一年之后得多给人家1,000块钱,1,000块钱就是利息代价,对方放弃资金,就是把10万块钱给你用了,放弃资金获得的补偿,就是你给他利息是1,000,他得到的1,000叫利息.)

单利法

• 单立法,就是每年利息一样,举例银行借你一万块钱,每年利息10%,每年都要给银行1,000块钱,第一年给银行1,000块钱,第二年你再给银行1,000块钱,借十年整个利息就是1万块钱.

复利法

• 计算题目里没明确表明的话,是使用复利计算.比如:借你10万块钱,10万块钱就是现值,过几年之后要还对方钱,得用一加上利率10%,变成1.1,第一年利息要是10万乘以1.1,两年的话,就是两年的将来值,就是10万乘以1.1的平方,10年就是10万乘以1.1的10次方,等于23.8万.

承兑汇票

• 简单理解就是为了抵抗利息的波动特殊的一个产品.

示例

• 单立法的计算,本金是1,000块钱,只计算利息本身就直接乘以每年的利息(利率).

• 复立法的计算,本金是1,000块钱,现金乘以每年的利息(利率).可以简化为公式计算: 1000 * (1+0.06)⁵ = 1338.23

项目经济静态评价方法

什么叫回收期?

• 因为做项目不可能就是快进快出,当时投入1万块钱,马上项目做完之后就收回了12,000是不可能的,因为项目毕竟有一个周期,而且投资回收期是跨越项目的.比如:项目建设期一般不说回收问题,项目建设期是第0年(当年),会讲项目已经开始,项目结束了,开始运营了,包括运营期开始赚钱了,运营期运营20年,不可能20年报废,不可能报废的时候才把成本收回来,肯定在中间某一年,第五年的时候,第五年末一计算本金回收了.包括项目开发,五年之内的投入,在第五年末发现所有投入和所有收益正好扯平,回收期就是5年,5年之后正常来讲就开始赚钱了,所以结论得知道回收期越短越好.

什么叫静态?

• 静态就是不用折现,不用折现就是不用P*(1+10%)这个公式,直接用现金流入(例题中).比如:第一年现金流入就是赚了200万不用折现,不用200除以1.1,不需要因为这是静态,静态不折现所以实际上就是第一年是-900万,后面都是正的.

静态投资回收期

• 投资回收期是指以项目的净收益(包括利润和折日)抵偿全部投资 ( 包括固定资产投资和流动资金投资 ) 所需的时间.(收到的钱和投入的钱相匹配,所用的时间就叫投资回收期)

例题(必须掌握)

• 某项投资方案各年份净现金流量如下表所示（ 单位 ：万元 ）：如果基准回收 P_c = 3.5 年，试用投资回收期指标评价该项目是否可行.(题目解析 : 一般来说当年是第0年,从0开始,当年之后才计算1,2,3,4,5年份,从零开始一般是收支两条线,第零年就是当年,就是项目建设过程,当年投入资金流出投入了900块钱,第一年没赚钱所以当年现金流入是0,如果不再投入,从第一年开始盈利.假设第一年盈利200万,第三年300万,后来连续4年都是400万,项目生命周期6年就结束了,得到净现金流量表,通过流量表算一下项目的静态回收期.)

\[{\textstyle \sum_{t=0}^{p_{t} }} (CI-CO)_{t} = -900 + 200 + 300 + 400 = 0 , p_{t} = 3,可行 \]

• p_t表示静态回收期,就是三年或者说三年之后收支持平.(正常考试一般会出现一个3.6这样的结果.)

投资收益率

定义

• 投资收益率是指项目达到设计生产能力后的一个正常年份的年息税前利润与项目总投资的比率。(其实就是每年的利润和项目总的投资比值,就叫投资收益率.)

公式

• 总投资收益率（ Return on Investment，ROl ）(ROI也叫投资回报率)的计算公式为：

\[ ROI = \frac{EBIT}{TI} \times 100\% \]

• 式中，TI为投资总额，包括固定资产投资和流动资金投资等；EBIT为项目达产后正常年份的年息税前利润或平均年息税前利润，包括组织的利润总额和利息支出。(公式年利润一般是指税前年利润比上总投资额.比如总投资1,000万,项目每年稳定的赚100万,项目的收益率就是10%,但是不可能赚10%,只是收益率,正常还得扣除各种税等.赚的就少,所以一般来讲正常项目ROI如果不超过15%,项目没法做,项目ROI等于10%,基本上是亏损的.)

例题

• 某项目的投资及收益如表所示，现已知基准投资收益率Rb为15%，达产年为第5年，试以总投资收益率指标判断项目的取舍。(题目解析: 基准投资收益率就是公司规定所有项目的ROI必须大于等于15%,不然就别做了,这叫基准投资收益率.达产年为5年,就是第五年之后正常的稳定的运营.算出来ROI判断一下项目值不值得去做,这叫项目决策.)

• 解：由表中数据可得 :

\[\begin{split}ROI &= 200 / 500 \times 100\% \quad \\ &= \quad 0.4 \times 100\% \\ &= \quad 40\% \quad \\ & ROI>Rb \end{split} \]

• 故项目可以考虑接受.

解析 : 重要看累计净现金流量,就是每年的当年的收入减去支出,第零年亏了180,累计就是从第零年累计到现在,所以第零年是负180万,第一年不是亏了240万,而是把180加上240万,所以第一年之后,累积的净现金流量是-420,累计值是什么都不用算了,直接看累计值就行.实际上这道题就是看第五年,就是第五年之后每年的利润,第五年开始稳定的每年赚200万,每年的200万比上总的建设投资(第零年,第一年,第二年加到一块是500),所以ROI200除以总投资,比值就是40%,最后结论因为40%大于基准收益率15%, 所以项目可行.

项目经济动态评价方法

什么是动态评价

定义

• 动态评价是指在进行项目方案的效益和费用计算时，考虑资金的时间价值 , 采用复利计算方法，把不同时点的效益和费用折算为同一时点的等值价值，为项目方案的经济比较确立相同的时间基础.(静态不考虑现值,不考虑利率,但是动态评价方法要考虑利率,所以要折现,就是多了一个折现的步骤,就是把每年的收益或者从第零年之后,未来的每一年都折成现值,每年都折成现值累加起来,这叫动态.考虑了资金的时间价值,就是要进行折现或者要用到利率或者折现率,参数题目一定给.)

主要方法

• 动态评价主要用于项目详细可行性研究阶段，是项目经济评价的主要方法。常用的动态评价方法主要有净现值法、净现值率法、费用现值法、动态投资回收期法、内部收益率法等。(各种计算方法都是属于动态的评价方法,考虑货币的时间价值.)

净现值法

定义

• 净现值 ( Net Present Value，NPV）是指按给定的折现率 ( 也称基准收益率 ) 将各年的净现金流量折现到同一时点的现值累加值。(不管项目到底是5年和10年,项目从开始到结束把每年的总的投入和总的收益(CI就是收益多少钱,CO就是投入多少钱,CI-CO结果是每年赚了多少钱),公式是每年当年的收益乘以当年的折现值.有10年要乘以10次,把所有值加到一起,即从第零年到第十年,第零年不用折现,但是也得加进去,第零年到第十年的11个值加到一块,11个值的总和叫NPV.)

公式

\[\begin{split}\\ & {\textstyle \sum_{t=0}^{n}} \quad (CI_{t} - CO_{t} )(1 + i_{0} )^{-t} \\ & 式中,\\ & NPV ：净现值(即：累计年净现金流量现值)\\ & CI_{t} ：第t年的现金流入量(收入)\\ & CO_{t} ：第t年的现金流出量 (支出)\\ & n : 计算期\\ & io ：基准折现率 (收益率)\\ & CI_{t} - CO_{t} ：结果是净值\\ & (1 + i_{0} )^{-t} : 折现率 \end{split} \]

净现值判定标准

• NPV ≥ 0，表明项目的收益率达到基准收益率的水平，项目可行；
• NPV < 0. 表明项目的投资收益率达不到基准收益率的水平，难以达到期望

结论 : NPV大于等于0是赚钱了,NPV小于0就是项目亏钱了

例题

• 某项目设计方案总投资2995万元，投产后年经营成本为500万元，年营业收入额为1500万元，第3年末工程项目配套追加投资1000万元，若计算期为5年，基准收益率为10%，残值等于零，试计算投资方案的净现值。

\[\begin{split}\\ & 解 ：由表中数据可得\\& NPV = \quad -2995 + 909.1 + 826.4 + 683 + 620.9 万元\\ & \quad \quad = \quad 4.4万元\\ & NPV大于0，说明除了达到10\%收益外，还有44.4万元收益现值 \end{split} \]

• 解析 :  实际上考试净值一般不给,需要自己计算,所谓的净值是每年的净值(每年就是第零年),净值=收入-投资(或者成本),第一年收入减去成本,第二年是持平(1500-500-1000),现值就是把净值进行折现,就是净值乘以折现率,得到当年的现值,第一年就是(1500-500)(1+10%)^-1=909.0909≈909.1.第二年1,000/1.1的平方,第四年1,000/1.1的四次方,第五年1,000/1.1的五次方,每年折现之后的现值算出来,算完之后把每年的现值加到一起的值就叫净现值NPV.

• 结论 : 项目总体来讲在达到10%的折现率基础之上,项目还会赚44.4万元,项目可做

净现值法的优点

• 反映了投资项目在整个项目寿命期的收益
• 考虑了投资项目在整个寿命期内更新或追加的投资
• 反映了纳税后的投资效果
• 既能对一个方案进行费用效益的可行性评价，也能对多个投资方案进行比较

净现值法的缺点

• 需要预先确定基准折现率 i 。科学合理地确定常重要，但有一定难度.(事先得确定折现率,实际上确定折现率很难.)
• 没有考虑各方案投资额的大小，不能反映资金的利用效率.(只能展现项目最后赚了多少钱,无论投投资额是多少,投资一个亿还是十个亿,都不在意,很可能项目投入了100亿,最后只赚了44.4万,其实不能做,项目只投了50万,最后也赚了44.4万,没考虑总投资.)

净现值率法

• 为了抵消净现值法没考虑总投资,给了一个净现值率叫NPVR.NPV比上总投资,如果是NPV一样,肯定总投资越小越好,这叫净现值率.

定义

• 为了考查资金的利用效率，可采用净现值率作为净现值的补充指标。

净现值率

• 净现值率（ NPVR ）是按基准折现率求得的，计算公式为公式如下，Kp为项目总投资现值.

\[\begin{split}NPVR = \frac{NPV}{K_{p} } \times 100\% \end{split} \]

净现值率判定标准

• NPVR ≥ 0 ，表明项目的收益率达到基准收益率的水平，项目可行;
• NPVR < 0 ，表明项目的投资收益率达不到基准收益率的水平，难以达到期望;
• 进行方案比较时，以净现值率较大为优。净现值率一般作为净现值的辅助指标来使用。净现值率法主要适用于多方案的优劣排序.

结论 : NPVR净现值率大于0就好,小于0就不好.一般是对单个项目只计算NPV,不计算NPVR.多项目排序就是只有一份钱想做5个项目,分别计算5个项目的NPV和NPVR

例题

• 某项目有A、B两种方案均可行，其现金流量如表所示，当基准折现率为10%时，试用净现值法和净现值率法比较评价方案优劣.

解析

年份		0	1	2	3	4	5
净值	方案 A	-2000	600	1000	1000	1000	1000
	方案 B	-3000	1500	1500	1500	1500	1500
现值	方案 A	-2000	545.5	826.4	751.3	683	620.9
	方案 B	-3000	454.5	1239.7	1127	1024.5	931.4

\[\begin{split} \\ & 解：按净现值计算如下。 \\ & \\ & NPV_{A} =-2000+(1000-400)/(1+0.1)+(1500-500)/(1+0.1)² \\ & +(1500-500)/(1+0.1)+(1500-500)/（1+0.1) \\ & +（1500-500）/（1+0.1)万元 \\ & -2000+545.5+826.4+751.3+683+620.9万元 \\ & =1427.1万元 \\ & \\ & NPV_{B} = -3000+(1500-1000)/(1+0.1)+(2500-1000)/(1+0.1)² \\ & +(2500-1000)/(1+0.1) \\ & +(2500-1000)/（1+0.1) \\ & +（2500-1000）/（1+0.1)万元 \\ & = -3000+454.5+1239.7+1127+1024.5+931.4万元-1777.1万元 \\ & \\ & NPV_{A} < NPV_{B}，所以方案B为优选方案。 \\ & 按净现值率计算如下： \\ & NPVR_{A} = 1427.1 / 2000 = 0.7136 \\ & NPVR_{B} = 1777.1/3000 = 0.5924 \\ & 可知，NPVR_{A} > NPVR_{B}，所以方案A为优选方案，这与用净现值法评价的结论相反。 \end{split} \]

• 当净现值率与净现值得出不同结论时，应以净现值大的为准;
• 如果是互斥项目决策,先看项目寿命期是否相同,寿命期相同,选净现值大的,寿命期不同,用共同年限法或等额年金法再做分析,可以选择共同年限法下净现值大的,或选择等额年金法下永续年金现值大的项目。

结论 :  一般情况下是以NPV为准,很特殊的情况下,特殊互斥项目决策,就是AB项目到底选哪个项目,两个项目只能选一个,还得考虑整个项目的生存期或者寿命,项目到底是5年结束还是10年结束,寿命相同还得选NPV大的,寿命不同还得考虑其他的,寿命期不同还得做非常复杂的分析,很特殊的情况下才使用NPVR的概念,结论就是NPV更有效.

费用现值法

定义

• 费用现值（ 简称PC ）是不同方案在计算期内的各年成本，按基准收益率换算到基准年的现值与方案的总投资现值的和，越小越好。(PC实际上就是NPV,计算就是像NPV一样,但是不计算收益了,只计算投入或者只计算费用,就是把每年的费用折到当年的折到现值,每年费用折到现值,把所有现值加加到一块.)

例题

• A项目A方案总投资(就是总的费用),第一年先给一个固定的费用总投资200万,项目周期有十年,每年又投了80万(就实际上不是一个80,是10个80),B项目先先投300万,也是1-10年,每年又投50万,C项目也是这样.问题计算三个项目的费用现值.

\[\begin{split} \\ & 解：由表中数据可得 \\ & PC_{A} = 200 + 80/(1+0.1) + ... + 80/(1+0.1)^{10} = 691.6万元 \\ & PC_{B} = 300 + 50/(1+0.1) + ... + 50/(1+0.1)^{10} = 607.3万元 \\ & PC_{C} = 500 + 20/(1+0.1) + ... + 20/(1+0.1)^{10} = 622.9万元 \\ & 所以选择B项目 \end{split} \]

• 费用现值实际上为净现值的特例，只能比较方案的优劣,而不能用于判断方案是否可行.

缺点

• 没考虑收益,如果B项目投入是少但是他没有收益,也是净亏损,别的项目他投入多但是收益也多.

解析

• 费用现值200加上第一年运营费用80/1.1,再加上80/1.1的平方,....80/1.1的10次方,费用现值691.6.

• 结论 : 费用现值显然不是好事,费用投出去的钱折到现在,所以显然值越小越好.

动态投资回收期(必须掌握)

定义

• 动态投资回收期是指，在考虑资金时间价值条件下，按设定的基准收益率收回全部投资所需的时间.(动态回收期跟静态回收期唯一一个区别,动态回收期考虑资金的时间价值,换句话说,要进行折现,就是计算回收期之前做一个折现,只要做折现,使用折现率概念了,就叫动态回收期.)

公式

\[\begin{split} \\ & P_{t} \quad=\quad T - 1 + \frac{|U_{t-1}|}{V_{t}} \\ & 式中： \\ & P_{t} \quad----\quad 投资回收期；(一般是个带小数的值) \\ & T \quad ----\quad 累计净现金流量由负变正的开始年份（最先为正值的年份）； \\ & (T年结束之后,NPV是正的,就是开始赚钱了. t年之后, \\ & 回收期肯定是小于t年,比如第五年末赚了50万,回收肯定不用第五年,肯定是第四点几年) \\ & U_{t-1} \quad----\quad 累计净现金流量由负变正的年份（最后为负值的年份）的累计年净现金流量值； \\ & V_{t} \quad----\quad 累计年净现金流量由负变正的开始年份（最先为正值的年份）的当年净现金流量；(V_{t}是由负变正的那个年份,那年赚了多少钱) \end{split} \]

例题

高项2019上第69、70题

• 项目经理制定了项目资产负债表(单位：元)，如下表所示。该项目的静态投资回收期为(69)年，动态投资回收期为(70)年。 (保留一位小数位)

• 第69题选项

  • A. 2
  • B. 2.4
  • C. 2.8
  • D. 3

• 第70题选项

  • A. 3
  • B. 3.4
  • C. 3.5
  • D. 3.6

解析

第一步

• 题目已经给出了折现因子,如果没给,需要用基础折现率10%,计算每个折现因子,第一年 1/1.1 ≈ 0.91 ,第二年 1/(1.1)²≈ 0.83 ....

第二步

• 需要计算累计净现金流量,就是收入减去支出

项目年度	0	1	2	3	4	5
累计净现金流量	-35000	19000	8500	10000	14000	18000

第三步

• 累计净现金流量的值相加一下,看看到第几年大于零,-35000+19000+8500+10000=2500,所以肯定是2点几年的时候达到回收期

第四步

• 判断范围,-35000+19000+8500=-7500,带入公式

\[\begin{split} \\ & P_{t} \quad= 2.0 + \frac{|-7500|}{10000} \\ & \quad= 2.75 ≈ 2.8 \\ & 式中： \\ & P_{t} \quad----\quad 投资回收期；(一般是个带小数的值) \\ & U_{t-1} \quad----\quad -35000+19000+8500=-7500 \\ & V_{t} \quad----\quad V_{t}是由负变正的那个年份,那年赚了多少钱,本题中是第三年由负转正了,对应的钱数是10000 \\ & 所以静态回收期是2.8年,69的答案选择C \end{split} \]

属于静态回收期的累计净现流量计算,计算之后,通过比较再用动态投资回收期的公式算出投资回收期.

动态回收期

第一步

• 主要是计算现值,就是对值进行折现,第一年为例 : 净值乘以净现因子 = 19000 * 0.91 = 17290

项目年度	0	1	2	3	4	5
净值	-35000	19000	8500	10000	14000	18000
现值	-35000	17290	7055	7500	9520	11160

第二步

• 试值,看看加到第几年达到正直, -35000+17290+7055+7500+9520= 6365,得到达到第四年转负为正.

第三步

• -35000+17290+7055+7500=-3155,带入公式

\[\begin{split} \\ & P_{t} \quad= 3.0 + \frac{|-3155|}{9520} \\ & \quad= 3.33 ≈ 3.4 \\ & 式中： \\ & P_{t} \quad----\quad 投资回收期；(一般是个带小数的值) \\ & U_{t-1} \quad----\quad -35000+17290+7055+7500=-3155 \\ & V_{t} \quad----\quad V_{t}是由负变正的那个年份,那年赚了多少钱,本题中是第四年由负转正了,对应的钱数是9520 \\ & 题目不是很严谨,选择最接近的答案,所以静态回收期是3.4年,70的答案选择B \end{split} \]

内部收益率法(理解)

定义

• 内部收益率（ IRR ）（ Internal Return Rate ）又称内部报酬率，是指项目在计算期内各年净现金流量现值累计值 ( 净现值NPV ) 等于零时的折现率。(内部收益率是一个像利率一样的东西,内部收益率是NPV等于0的时候的折现率.即NVP等于零叫做内部收益率.)

公式

\[\begin{split} \\ & {\textstyle \sum_{t=0}^{n}} \quad (CI - CO )_{t}(1 + IRR )^{-t} = 0 \end{split} \]

• 判别准则：IRR ≥ 基准收益率，项目可行；当 IRR < 基准收益率，项目不可行。(公式解析  : 每年的收入减去支出,乘以算出来的内部收益率,内部收益率就是代替原来算NPV的i,最后算出来NPV恰好等于0,此时此刻NPV就叫内部收益率.就是反向计算之前叫做基础折现率的折现率,不好算,需要反复试数.类似于算4开根号等于几,算那个开根号内的数字2.)

结论 : 内部收益率越高越好,越大越好.内部收益率必须大于银行的利率.一般的大型的集团公司要求项目汇报或者投入之前先计算一下项目IRR,一般是大于15%项目才做的.IRR可以看成是你项目抵抗金融利率风险的一个指标,肯定得大于银行利息.IRR跟NPV一样都是越高越好,只有回收期越小越好.

22.2 运筹学

• 官方教材里需要掌握7个运筹学的方法,往期计算题规律选项里a b cd三个最小的里边的第二个或者第三个,2023年开始不适用了.

线性规划

关于线性规划

主要研究问题

• 线性规划主要研究和解决以下两类问题 ：
  • 1. 有限资源(人力、物力、财力)条件下，如何制订最优的经营方案，取得最佳的经济效益；(资源有限的情况下,怎么进行安排使你获得最大的收益.)
  • 2. 在任务确定的前提下，怎样合理安排使完成该项任务所消耗的资源最少。

本质

线性规划本质 ：在一定的线性约束条件下计算极值问题.(线性规划本质就是计算数学里的极大值或者极小值问题,它就是一个极值问题,只不过它是有约束的,所以在线性约束条件下,计算最大值或最小值,这种问题就叫线性规划.)

要素

• 线性规划问题的数学模型包含三个要素：决策变量、目标函数和约束条件.

例题

• 下题 正常的线性规划的难度,做的出来说明线性规划问题不大.

高级2019下66、67题

• 某电池厂生产甲、乙两种型号产品（ 单位：万个 ），这两种产品都需要设备和A、B两种原材料，利润与资源限制条件如表所示，为了获得最大的莉润，该电池厂每天生产的甲产品的数量应为 (66) 万个，此时候该企亚每天的利润为 (67) 万元。(生产甲乙两种型号的产品,两种产品都需要a和b两种原材料,限制条件是在原材料维度上进行限制,就是原材料a最多只有15个工单位,原材料B也是不是无限供应的最多有12千克,使用的设备也是,三个限制都可以看成是资源限制,三个限制一般列出三个线性方程.)

• 第66题

  • A. 1
  • B. 2
  • C. 3
  • D. 4

• 第67题

  • A. 20
  • B. 22
  • C. 24
  • D. 26

解析

第66题

第一步

• 根据题目条件,联立方程组,画出函数图形

\[\begin{split} \\ & 问题就是利润最高的情况下,生产甲产品的数量是多少个,甲乙两个产品,设甲产品生产x个,乙产品生产y个. \\ & 生成方程式： \\ & 2x+3y = 20 \\ & 3x+y=15 \\ & 2y = 12 \end{split} \]

• 将(0,1),(1,0)点带入第一个方程组,请其函数图像

• 联立方程组,看x,y在红色部分范围内

\[\begin{split} \\ & 联立方程组(1) \\ & \begin{cases} 2x+3y = 20 \\ 2y = 12 \end{cases} \\ & 解得 \\ & \begin{cases} x = 1 \\ y=6 \end{cases} \\ & 带入未联立的方程组3x+y=15,得 3*1+6 =9,9<15,可以 \\ & 联立方程组(2) \\ & \begin{cases} 3x+y=15 \\ 2y=12 \end{cases} \\ & 解得 \\ & \begin{cases} x = 4 \\ y=6 \end{cases} \\ & 带入未联立的方程组2x+3y = 20 得 2*4+3*6 = 26, 26>20 舍弃 \\ & 联立方程组(3) \\ & \begin{cases} 3x+y=15 \\ 2x+3y = 20 \end{cases} \\ & 解得 \\ & \begin{cases} x = \frac{25}{7} \\ y=\frac{30}{7} \\ & 带入未联立的方程组2y = 12 得 2*\frac{60}{7} \approx 8.6, 8.6>6 舍弃 \end{cases} \\ & 所以 x=1,就是甲是1 的时候得出结果,第66题选择A \end{split} \]

第67题

• 设甲的利润是m,乙的利润是n,根据题目要求最大值是 Max = 2 m+4 n. 上题目求出的x=1,y=6,带入式子,2*1+4*6 = 26,所以最大值是26,选择D

运输问题

• 运输问题实际上就是运输成本最省钱最小的问题.

关于运输问题

定义

• 运输问题解决以下问题 ：把某种产品从若干个产地调运到若干个销地，在每个产地的供应量与每个销地的需求量已知，并知道各地之间的运输单价的前提下，如何确定一个使得总运输费用最低的方案。

解决方法

• 可以使用多种方法解决
  • 西北角法 ：在单位运价表中，每次从西北角位置选择元素，不考虑单位运价
  • 最小元素法 ：在单位运价表中，每次选择运价最小的元素
  • 伏格尔法 ：每次重新计算未被划去的行列的最小元素和次小元素的差额，选择最大差额对应行（或列）的最小元素.

例题

高项2023年11月

• 某产品有三个产地A1、A2、A3，四个销售地B1、B2、B3、B4，其供应量、需求量和单位产品运价如表所示。完成该运输任务所需的最小运费为（）。

• A. 35
• B. 56
• C. 68
• D. 79

解析

伏哥尔求解

步骤一

• 算出各行各列中最小元素和次小元素的差额，并标出差额最大的（若几个差额同为最大，则可任取其一）,举例: 第一行最小元素是1,次小元素是2,行差就是2-1=1

产地	B1	B2	B3	B4	比较值	行差
A1	2	3	2	1	2-1	1
A2	10	8	5	4	5-4	1
A3	7	6	6	8	6-6	0
列差	5	3	3	3

步骤二

• 2、在差额最大的行或列中的最小元素处填上尽可能大的数。
• (1) 最大的列差是5,对应的列是B1列,B1列最小的值是2,看供给量是3,能供给3个. 2*3

产地	B1	B2	B3	B4	供应量
A1	2	3	2	1	3
A2	10	8	5	4	7
A3	7	6	6	8	5

• (2) 已满足3个,需求量是4,减去满足的3,还剩一个,满足的行删除.

产地	B1	B2	B3	B4	供应量
A2	10	8	5	4	7
A3	7	6	6	8	5

步骤三

• 3、对未划去的行列重复以上步骤，直到得到一个初始解。

• (3) 重新计算现在的图形的差额.

产地	B1	B2	B3	B4	比较值	行差
A2	10	8	5	4	5-4	1
A3	7	6	6	8	6-6	0
列差	3	2	1	4

• (4)最大的列差是4,对应的列是B4列,B4列最小的值是4,看供给量是7,能供给4个.需求量4个全满足了. 4*4

产地	B1	B2	B3	B4	供应量
A2	10	8	5	4	7
A3	7	6	6	8	5

• (5)删除满足的B4列,再对剩下的做差额计算.

产地	B1	B2	B3	比较值	行差
A2	10	8	5	8-5	3
A3	7	6	6	6-6	0
列差	3	2	1

• (6)最大的列差是3,对应的列是B1列,B1列最小的值是7,看供给量是7,能供给7个.需求量1个全满足了.((1)满足了3个需求量) 7*1

产地	B1	B2	B3	供应量
A2	10	8	5	3 (4)满足后剩下
A3	7	6	6	5
需求量	1	3	4

• (7) 删除满足的B1列,再对剩下的做差额计算.

产地	B2	B3	供应量
A2	8	5	3
A3	6	6	4
需求量	3	4

产地	B2	B3	比较值	行差
A2	8	5	8-5	3
A3	6	6	6-6	0
列差	2	1

• (8) 在所有行差列差中找最大的值是3,就是A2行.最小的值是B3的5,供应量还剩三个,需求量4个,这里供应3个 5*3

产地	B2	B3	供应量
A2	8	5	3
A3	6	6	4
需求量	3	4

• (9) 删除A2行.B3需求量1个,B2需求量3个,正好供应量全部消耗完了.

产地	B2	B3	供应量
A3	6	6	4
需求量	3	1

• 累加所有的值 : 2*3 + 4*4+ 7*1 + 5*3 + 3*6+6*1 = 68

答案

• C

指派问题

关于指派问题

定义

• 所谓指派问题是指这样一类问题：有n项任务,恰好有n个人可以分别去完成其中任何一项，由于任务的性质和每个人的技术专长各不相同，因此，各人去完成不同任务的效率也不一样。于是提出如下问题 ：应当指派哪个人去完成哪项任务，才能使总的效率最高？

解决方法：匈牙利法

• 若从系数矩阵（也称效率矩阵）的一行(列各元素中分别减去该行（列的最小元素, 得到新矩阵，那么以新矩阵为系数矩阵求得的最优解和用原矩阵求得的最优解柏同 . 利用该性质，可使原系数矩阵变换为含有有很多0元素的新矩阵 , 而最优解保持不变.

例题

高项2014

• 某公司要把4个有关能源工程项目承包给4个互不相关的外商投标者，规定每个承包商只能且必须承包一个项目，在总费用最小的条件下确定各个项目的承包者，总费用为（ ）。（ 各承包商对工程的报价如下表所示 ）

• A. 70
• B. 69
• C. 71
• D. 68

解析

步骤一

• 将关联矩阵每一行减去本行的最小值，进入步骤二

A	B	C	D
15	18	21	24
19	23	22	18
26	17	16	19
19	21	23	17

• 找到第一行最小是15 ,第二行是18,第三行是16,第四行是17,每行减去这四个数得到如下.

A	B	C	D
0	3	6	9
1	5	4	0
10	1	0	3
2	4	6	0

步骤二

• 找出独立并不相交的四个零,存在就是答案,不存在则继续计算,划出带零的部分,找出没有零的行或列,

A	B	C	D
0	3	6	9
1	5	4	0
10	1	0	3
2	4	6	0

• 实际划除后.继续对这部分进行化零操作,第一行没有零,找到行最小的是1.删除的数值非零的列加最小值,下面的部分集体减一.

A	B	C
1	5	4
2	4	6

• 操作后得到

A	B	C	D
0	3	6	10
0	4	3	0
10	0	0	4
1	3	5	0

• 继续化零,去除带零的行列,看剩下的数据,在剩下的数据中找到最小的值减去这个值.最小值是3,所以下边部分集体减3

B	C
3	6
4	3
3	5

• 减2后得到.经过查看找到了零

A	B	C	D
0	0	3	10
0	1	0	0
10	0	0	4
1	0	2	0

步骤三

• 去掉零,同行同列存在相同的零要删除.先找独立零的行, 第一行A1位置有0,第二列B1的零删除,因为A2的零跟A1冲突,所以删除,第三行C3是独立零的行,需要保留,所以C2的零就需要删除.这时第二行有独立零,所以,D4的零删除.现在就变成每行每列都是独立的零的情况了,满足条件.

A	B	C	D
0		3	10
	1		0
10		0	4
1	0	2

步骤四

• 映射还原,把位置再映射到原图中,把原图的数据加起来就是最短的结果了.

A	B	C	D
15	18	21	24
19	23	22	18
26	17	16	19
19	21	23	17

• 数值累加 : 15 + 18 + 16 + 21 = 70

答案

• A

动态规划

最短路径

例题

教材上例21-12（多阶段决策问题）

• 计划从A地铺设一条输油管道到E地，中间须经过三个中间站。第一个中间站可设在B1或B2，第二个中间站可以有C1、C2、C3三种选择，第三个中间站可取D1 或 D2。各地之间的距离 ( 单位为km ) 标在箭线旁边，如图所示。要求确定一个方案，使得从A到E的距离最短。

解析

• 中间须经过三个中间站 : 因此经过B,有两种选择B1和B2,经过C有三种选择C1,C2,C3,经过D有两种选择D1,D2.

解决方法

• 逆推法:从E开始,E可以选D1和D2,[D1,E]=4,[D2,E]=4,选最短的D1E,到达D1位置,D1选择C1,C2,C3,[D1,C1]=5, [D1,C2]=4,[D1,C3]=7,最短是[D1,C2]=4,到C2点,C2可选B1和B2,[B1,C2]=6,[B2,C2]=3,选B2C2,B2只能选择A.

答案

• A ---- > B2 ----> C2 ----> D1 ----> E ,最短距离: 4+3+4+3=14

资源分配

资源分配问题

• 设有某种资源(如煤、电、资金、机器设备、劳力等)，总数量为a，可用于n种产品的生产，若以数量x用于第i种产品的生产，其相应的收益为g_i(x_i)，（i=1,2,..,n)，问应如何分配，才能使生产n种产品的总收益最大?

例题

教材【例21-13】

• 某公司现有400万元用于投资甲、乙、丙个项目 , 限制投资以百万元计 , 已知甲、乙、丙三项投资的可能方案及相应增加的收益如表所示，试确定使总收益最大的投资方案。

解析

• 一般使用穷举法,把所有情况列出来,然后计算收益.

序号	甲	乙	丙	收益
1	100	200	100	1700
2	100	100	200	1600
3	100	0	300	1400
4	200	100	100	1500
5	200	0	200	1400
6	300	0	100	1400
7	0	100	300	1400
8	0	200	200	1800
9	0	0	400	1500
10	0	300	100	1500

• 通过上个表格,计算得甲投入0,乙投入200万,丙投入200万,收益最大,最大值是1800万元.

图与网络

最短路径

标号法

定义

• 最短路径问题采用的算法是标号法，不仅可以求出从V_s到V_t的最短路径及它的长度，而且可以同时求出从Vs到所有顶点V_j的最短路及其长度，或者指出不存在从V_s到V_j的有向路径。标号法适用于每条弧的长度都是非负数的情况。

问题

• 每个顶点V_j的标号由两个数字组成(a_i,B_j），其中αi代表从起点V₁到顶点V_j的最短路径的长度，B_j指明V_j的标号是从哪个顶点得来的。

上图标号结果

例题

高项2023上69、70题

• 图中V₁是物流集散地，其他点均为不同的二级转运站，弧上的数字代表两点间的距离 ( 单位公里 ) ，则V₁到二级运转站 ( 69 ) 最远，其最短路径为 ( 70 ) 公里。

• 第69题

  • A. V₆
  • B. V₇
  • C. V₈
  • D. V₉

• 第70题

  • A. 17
  • B. 14
  • C. 13
  • D. 11

解析

• 根据选项可以生成四条路径

  • V₆ : V₁ ----> V₂ ----> V₅ ----> V₉ ----> V₆ 路径距离: 2+1+1+6 =10
  • V₇ : V₁ ----> V₂ ----> V₅ ----> V₉ ----> V₇ 路径距离: 2+1+1+9 =13
  • V₈ : V₁ ----> V₂ ----> V₅ ----> V₉ ----> V₈ 路径距离: 2+1+1+8 =12
  • V₆ : V₁ ----> V₂ ----> V₅ ----> V₉ 路径距离: 2+1+1 =4

• V₁到最远,根据选项和上边的计算,得出是到V₇,距离是13

答案

• 69 : B
• 70 : 13

最小生成树(需要掌握)

最小生成树原理

定义

• 所谓最小生成树的问题就是在一个赋权的、连通的无向图G中找出一个生成树并使得这个生成树的所有边的权数之和为最小.

总结

• 解决该问题可使用避圈法 ( Prim ) 和破圈法，会一种即可.

例题

高项2023年下、2019下68题

• 煤气公司想要在某地区高层住宅楼之间铺设煤气管道并与主管道相连，位置如下图所示，节点代表各住宅楼和主管道位置，线上数字代表两节点间距离（ 单位：百米 ）。则煤气公司铺设的管道总长最短为（ ）米

• A. 1000
• B. 1100
• C. 1200
• D. 1300

解析

破圈法

• 就是拆除外圈所有长度最长的变.

步骤一

• 拆除500

• 拆除400

• 拆除300

• 拆除200

• 最后把值加起来 : 200 +100 +200 + 200 +100 +200 +300 = 1300

答案

• D

博弈论

博弈论原理

定义

• 博弈论 ( Game Theory )，也称对策论，是研究利益冲突情况下决策主体理性行为的选择和决策分析的理论，即是研究理性的决策者之间冲突与合作的理论。(博弈论原理就是游戏双方在一局游戏里,每个人都想赢,双方都想赢,为了赢要制定一些策略.)

举例

• 赢得矩阵中的每一行代表了局中人甲的一个策略，每一列代表了局中人乙的一个策略；行的数目表示了甲的策略集的策略数目，列的数目表示了乙的策略集的策略数目；赢得矩阵的第i行第j列的数值表示了甲出第i个策略，乙出第j个策略时，甲所得的益损值 ( 乙所得的益损值应为该数值的相反数 ) 。

例题

教材【例21-16】

• 甲乙乒乓球队进行团体对抗赛，每队由三名球员组成，双方都可排成三种不同的阵容，每一种阵容可以看成一种策略，双方各选一种策略参赛。比赛共赛三局，规定每局胜者得1分，输者得－1分，可知三赛三胜得3分，三赛二胜得1分，三赛一胜得－1分，三赛三负得－3分甲队的策略集为 S1 = {α1,α2,α3}，乙队的策略集为 S2 ={β1,β2,β3}，根据以往比赛得分资料，得到甲队的赢得矩阵为A。试问这次比赛各队采用哪种阵容上场最为稳妥。

• 双方的理智行为分别是甲队应采用α1策略，乙队应采用β2策略。由于甲队无论乙队采用什么策略都采用一种策略α1，而乙队也无论甲队采用什么策略都采用一种策略β2，把这种最优策略α1和β2分别称为局中人甲和乙队的最优纯策略。

解析

• 甲方你先考虑出第一个阵容的时候,就是历史上最坏的情况,第一个阵容就是最悲观的情况甲方可以得一分,如果甲方派第二个阵容的话最坏的情况,-3分,甲方第三个阵容的话最坏的情况是-1分,甲方的教练追求稳妥三个最坏情况下找一个最好的,所以甲方就是派出第一个阵容,因为第一个阵容无论怎么样会能得到一个,所以甲方的最优解阵容: α1[1,1,1]

甲方策略				历史最坏
α1	1	1	1	1
α2	1	-1	-3	-3
α3	3	-1	3	-1

• 乙方第一个阵容最坏的情况其实就是甲方最好的情况是甲方得3分,乙方-3分.第二个阵容乙方最坏的情况是甲方得了1分,第三个阵容最坏的阵容是甲方得了3分,所以乙方三个里最后选择第二个阵容,因为乙方派第二个阵容,最坏的情况下乙方只丢1分.乙方阵容 β2[1,-1,-1]

乙方策略	β1	β2	β3
	1	1	1
	1	-1	-3
	3	-1	3
历史最坏	3	1	3

• 最优纯策略 : [α1,β2] = 1

教材【例21-17】

• 某单位采购员在秋天要决定冬季取暖用煤的储备问题。已知在正常的冬季气温条件下要消耗15t煤，而在较暖与较冷的气温条件下分别要消耗10t和20t。假定冬季的煤价随天气寒冷程度而有所变化，在较暖、正常、较冷的气候条件下每吨煤价分别为10元、15元和20元，又设秋季时煤价为10元/t。在没有关于当年冬季准确的气象预报的条件下，秋季储煤多少吨能使单位的支出最小？

解析

• 根据题目建模

策略	β1	β2	β3
α1	10 * 10	10 * 10 + 5 * 15	10 * 10 + 10 * 20
α2	10 * 15	10 * 15	5 * 10 + 10 * 20
α3	10 * 20	10 * 20	10 * 20

• 找最优解,最后囤20t煤.(最坏情况下最好的,就是最小的里选最大的,就是分别每一行最小值里选一个最大值)

决策分析

不确定型决策

• 不确定性决策就是进货的时候不知道销售状态,得卖完之后才知道,所以叫不确定,在进货的时候根本就不知道每一种状态的可能性,连可能性都不知道.

例题

• 某商店打算经销一种商品，其进货单价为20元，销售价为25元。如果每周进货商品本周内售不完，则每件损失5元。根据以往的销售情况,每周的销售量可能是10件、20件、30件、40件4种状态。问：商店的经理怎样进货才能使利润最大(进货方案也分进货10件、20件、30件、40件4种)。

• 大中选大就是到底用哪个决策,分别看一下四种状态下,最大的收益就是50块钱(第一行Max的值).再从Max值中找最大的200,这种乐观是盲目乐观

• 悲观角色是小中选大,小中选大是分别看每一种方案里最坏的情况(图中Min的值,第一行是50).再从最小的Min值中找最大的值是50

• 计算每行相加的平均值,再从四个平均值中选择较大的值.

悔值决策法(考的概率高)

• 所谓悔值是指：若当某一状态出现时,对应这一状态的最优策略就可知。如果决策者当初没有采取这一方案，而是采取其他方案，这时会觉得后悔，因此对某状态θ_j的最优方案的结果值与各方案的结果值V_ij有一个差额，这个差额被称为悔值。悔值决策法就是计算在各种自然状态下的悔值，从最大的悔值中选出最小的悔值。

• 后悔值不是选最大后悔值,后悔值最后肯定是选最小的后悔值.例如:2005年的时候有100万,第一个选择100万买一个房子,第二个选择是100万买股票,结果后来,买房子100万变成1,100万了,房子给你带来1,000万的利润.股票给你带来1万块钱的利润,那你就后悔了,后悔值就是999万.后悔值就是最大的收益减去你选择的收益,所以后悔值越大,越不好,证明你的决策是错误的.

后悔值表画法

• 悔值就是用整个列的最大值减掉当前这个50

进货量	悔值01(销10件)	悔值02(销20件)	悔值03(销30件)	悔值04(销40件)
方案α1(进10件)	50-50
方案α2(进20件)	50-0
方案α3(进30件)	50-(-50)
方案α4(进40件)	50-(-100)

进货量	悔值01(销10件)	悔值02(销20件)	悔值03(销30件)	悔值04(销40件)
方案α1(进10件)	50-50 最大值50	100-50
方案α2(进20件)	50-0	100-100 最大值100
方案α3(进30件)	50-(-50)	100-50
方案α4(进40件)	50-(-100)	100-0

进货量	悔值01(销10件)	悔值02(销20件)	悔值03(销30件)	悔值04(销40件)
方案α1(进10件)	50-50 最大值50	100-50
方案α2(进20件)	50-0	100-100 最大值100
方案α3(进30件)	50-(-50)	100-50
方案α4(进40件)	50-(-100)	100-0

进货量	悔值01(销10件)	悔值02(销20件)	悔值03(销30件)	悔值04(销40件)
方案α1(进10件)	50-50 最大值50	100-50	150-50	200-50
方案α2(进20件)	50-0	100-100 最大值100	150-100	200-100
方案α3(进30件)	50-(-50)	100-50	150-150 最大值150	200-150
方案α4(进40件)	50-(-100)	100-0	150-100	200-200 最大值200

• 生成最终的悔值表格.

进货量	悔值01(销10件)	悔值02(销20件)	悔值03(销30件)	悔值04(销40件)
方案α1(进10件)	0	50	100	150
方案α2(进20件)	50	0	50	100
方案α3(进30件)	100	50	0	50
方案α4(进40件)	150	100	50	0

• 找出每行的悔值最大值.如果选第一个方案,第一个方案能给你造成最大的后悔,最大值是150,第二行最大值是100,第三行最大值是100,第四行最大值是150,让你产生最大后悔的那个值都找出来,大中选小,最后悔值是选最小的.方案α2和α3都可以.

进货量	悔值01(销10件)	悔值02(销20件)	悔值03(销30件)	悔值04(销40件)	Max
方案α1(进10件)	0	50	100	150	150
方案α2(进20件)	50	0	50	100	100
方案α3(进30件)	100	50	0	50	100
方案α4(进40件)	150	100	50	0	150

例题

2023年11月

• 某企业新研发的产品要投入市场，有三种价格方案ABC，预估每种价格方案的三种销售状态，根据同类产品的销售经验，算出三种价格方案下三种销售状态的收益值如表所示，该企业根据后悔值决策标准，应选择（ ）方案.

• A. A方案
• B. B方案
• C. C方案
• D. B或C方案

解析

• 画出悔值表.

进货量	悔值01(销路较好)	悔值02(销路一般)	悔值03(销路较差)	Max
A方案	0	5	4	5
B方案	4	0	2	4
C方案	8	2	0	8

• 从Max中选出最小的,就是4,选择方案B

答案

• B

风险型决策

• 风险型决策除了给出4个结果状态之外,还给出每种状态发生的频率.

期望值决策法

• 对于有m种方案、n种状态的决策问题，设第j种状态发生的概率为P(θ=θ_j)=P_j,则可求出每种方案的期望值:

\[\begin{split}E (\alpha_{i} ) = \sum_{j=1}^{n} P_{j} \nu _{ij} \end{split} \]

E(a_i)算法

• 方案 α1举例 : 50 *0.1 + 50 *0.3 + 50 *0.5+50 *0.1 = 50
• 方案 α2举例 : 0 *0.1 + 100 *0.3 + 100 *0.5+ 100 *0.1 = 90
• 方案 α3举例 : -50 *0.1 + 50 *0.3 +150 *0.5+150 *0.1 = 100
• 方案 α4举例 : -100 *0.1 + 0 *0.3 +100 *0.5+ 200 *0.1 = 60

期望值与标准差决策法

• 为了减少决策失误，不仅要求期望值达到最优，而且要求结果值偏离期望值的程度也小。这时可用标准差来度量，从而确定最优方案。这种方法称为期望值与标准差决策法。

公式

\[\begin{split}\sigma (\alpha_{i} ) = \sqrt{\sum_{j=1}^{n}P_{j} (V_{ij} - E(\alpha_{i}))^{2} } \end{split} \]

σ(a_i)计算

\[\\ &σ (\alpha_{i} ) \\ & = \sqrt{0.1 * (-100 - 60)^{2} + 0.3 * (0 - 60)^{2} +0.5 * (100 - 60)^{2} +0.1 * (200 - 60)^{2} } \\ & = 80 \]

ED(a_i)计算

• E(a_i)行的值 减去 σ(a_i)行的值 , 举例方案 α1 = 50 -0 = 50,最后选择减法后,最大值的方案,就是方案 α2: 60

最小悔值与期望值决策法(考的概率高)

• 在非确定型决策中可计算出某种状态下的悔值r_ij，如果考虑到各种状态发生的概率，可以计算出每一种方案的悔值与期望值，在这些悔值期望值中选出最小的，它对应的方案就是最优方案，这就是最小悔值期望值决策法.

题目

• 用最小悔值期望值决策法,应该选择哪个方案?

解析

• 画出悔值表

进货量	悔值01(销10件)	悔值02(销20件)	悔值03(销30件)	悔值04(销40件)	Max	ER(ai)
	0.1	0.3	0.5	0.1
方案α1(进10件)	0	50	100	150	150	80
方案α2(进20件)	50	0	50	100	100	40
方案α3(进30件)	100	50	0	50	100	30
方案α4(进40件)	150	100	50	0	150	70

ER(a_i)计算法

• 方案α1 : 0*0.1+50*0.3+100*0.5+150*0.1=80
• 方案α2 : 50*0.1+0*0.3+50*0.5+100*0.1=40
• 方案α3 : 100*0.1+50*0.3+0*0.5+50*0.1=30
• 方案α4 : 150*0.1+100*0.3+50*0.5+0*0.1=70
• 选择悔值最小的方案,所以选择方案α3 .

单词

序号	单词	简写	翻译	描述
1	Return on Investment	ROl	协议备忘录总投资收益率
2	Present Value	P	现在值
3	Future Value	F	将来值
4	Interest Rate	I	利率
5	Number of time period	n	时间期数
6	Net Present Value	NPV	净现值
7		NPVR	净现值率
8		PC	费用现值
9	Internal Return Rate	IRR	内部收益率
10		Prim	避圈法
11	Game Theory		博弈论 / 对策论