前言：阅读理解+剪枝+头脑风暴
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题目
P1731 [NOI1999] 生日蛋糕
题目背景
数据加强版 link
题目描述
7 月 17 日是 Mr.W 的生日，ACM-THU 为此要制作一个体积为 \(N\pi\) 的 \(M\) 层生日蛋糕，每层都是一个圆柱体。
设从下往上数第 \(i\)（\(1 \leq i \leq M\)）层蛋糕是半径为 \(R_i\)，高度为 \(H_i\) 的圆柱。当 \(i \lt M\) 时，要求 \(R_i \gt R_{i+1}\) 且 \(H_i \gt H_{i+1}\)。
由于要在蛋糕上抹奶油，为尽可能节约经费，我们希望蛋糕外表面（最下一层的下底面除外）的面积 \(Q\) 最小。
请编程对给出的 \(N\) 和 \(M\)，找出蛋糕的制作方案（适当的 \(R_i\) 和 \(H_i\) 的值），使 \(S=\dfrac{Q}{\pi}\) 最小。
（除 \(Q\) 外，以上所有数据皆为正整数）
输入格式
第一行为一个整数 \(N\)（\(N \leq 2 \times 10^4\)），表示待制作的蛋糕的体积为 \(N\pi\)。
第二行为 \(M\)（\(M \leq 15\)），表示蛋糕的层数为 \(M\)。
输出格式
输出一个整数 \(S\)，若无解，输出 \(0\)。
输入输出样例 #1
输入 #1
100
2
输出 #1
68
思路
我们先来解决 \(S=\dfrac{Q}{\pi}\)，那么众所周知，\(Q=\) 所有圆环（柱）的上表面面积 \(+\) 侧面面积 ,那么我们看下图：
图源侵删
该图中的黑色部分就是我们要计算的圆环（柱）的上表面面积，我们将整合图形从上到下拍扁，就得到了一个圆柱，这个圆柱的上表面面积（也就是一个圆）就是图中黑色部分的面积。(我们设 \(R_i\) 和 \(H_i\) 为第 \(i\) 层的半径和体积)
那么第 \(1\sim i\) 层的表面积
所以说 \(S\) 就是去掉 \(\pi\) 后的图形表面积。也就是 \(\sum2R_{i}H_{i}+R_{M}^{2}\)
本题就转化成了求该图形的表面积除 \(\pi\) 后的值（是整数）。
剪枝
我们设最上层的编号为 \(1\)，当前 \(DFS\) 的层数为 \(u\) ，总层数为 \(m\)，如下图（\(u+1\) 不一定等于 \(m\)）：
优化搜索顺序
- 我们从下向上搜索，因为下层面积大，分支少。
- 每一层的 \(R\) 和\(H\) 从大到小枚举，因为开始的时候枚举大的数据分支就会变小，搜到数据时累计的循环次数就会比先暴搜小分支的时候小。
上下界剪枝 (接下来所有公式和等式均忽略 \(\pi\))
现在我们要确定 \(R_u\) 和 \(H_u\) 的范围。
- 最小值：因为当前再第 \(u\) 层，第 \(1\) 层的最小值为 \(1\),第 \(2\) 层的最小值为 \(2\),以此类推，第 \(u\) 层的 \(R_u\) 和 \(H_u\) 的最小值为 \(u\)。
- 最大值：
- 我们当前已经确定了第 \(m\sim u+1\) 层的 \(R\) 和 \(H\),我们设第 \(m\sim u+1\) 层的体积和为 \(v\) ，那第 \(1\sim u\) 层的体积和为 \(n-v\) ,那当前这一层的体积肯定小于等于还未计算所有体积，即 \(R_u^2H_u\le n-v\)。既然我们要计算 \(R_u\) 的最大值，那么我们不妨将 \(H_u\) 设为 \(1\) ,即 \(R_u^2\le n-v\)，\(R_u\le \sqrt{n-v}\).
- 根据题目内容，\(R_i >R_{i+1}\) ，因为我们是反向遍历的，所以就是 \(R_u < R_{u+1}\) 。\(H_u\) 同理.
可行性剪枝
我们预处理出 \(1\sim m\) 层的最小体积 \(minv[i]\) 表示第 \(1\sim i\) 层的最小体积，如果当前已经算出来的 \(u+1\sim m\) 层的体积 \(v\) 加上 \(minv[u]\) 大于总体积 \(n\) 的话，就直接 \(return\) 。
最优化剪枝
我们预处理出 \(1\sim m\) 层的最小表面积 \(mins[i]\) 表示第 \(1\sim i\) 层的最小表面积，如果当前已经算出来的 \(u+1\sim m\) 层的表面积 \(s\) 加上 \(mins[u]\) 大于当前已经搜到的合法答案的最小资 \(ans\) 的话，就直接 \(return\) 。
图源侵删
最优化剪枝 Plus (遇事不明请看上图)
\(1\sim u\) 层的最小侧面积和还可以用剩余体积 \(n-v\) 来估价。
\(1\sim u\) 层的体积和为： \(\sum_{i=1}^{{u}}{R}_{{i}}^{2}*{H}_{{i}}=n-v\),
\(1\sim u\) 层的侧面积和 \(2\sum _{{i= 1}}^{{u} }R_{{i} }* H_{{i} }\)
提公因式 \(R_u\) 得:
因为我们是使用 \(\sum_{i=1}^{u}\) 遍历 \(1\sim u\) 中的所有数，所以肯定保证 \(i \le u\).这里我也理解了好长时间，\(\sum_{i=1}^{u}\) 等同于：for(int i = 1;i <= u;i++) ,所以在 \(for\) 里面执行的时候 \(i\) 一定 \(\le u\). 我们把原式中的的一个 \(R_u\) 换成 \(R_i\)，这个式子肯定是小于等于没换的式子的。即：
还记得 \(1\sim u\) 层的体积和吗？\(\sum_{i=1}^{{u}}{R}_{{i}}^{2}*{H}_{{i}}=n-v\)
将 \(\frac 2{{R_{u}} }\sum _{{i= 1}}^{{u} }R_{{i} }^{2}* H_{{i} }\) 中的 \(\sum_{i=1}^{{u}}{R}_{{i}}^{2}*{H}_{{i}}\) 替换为 \(n-v\) ,就变成了 \(\frac{2(n-v)}{R_{u}}\)。
这时你会发现 \(R_u\) 是未知的! 我们将 \(R_u\) 替换为 \(R_{u+1}\) 这时候，\(\frac{2(n-v)}{R_{u+1}}<\frac{2(n-v)}{R_{u}}\)
所以，如果 \(s+\frac{2({n}-{v})}{{R}_{u+1}}>ans\),既然小的那个式子 \(+s\) 都比当前的最优解差，那么 \(s+\frac{2(n-v)}{R_{u}}\) 一定大于当前的最优解 \(ans\),那么剪枝。
该估价不等式类似 \(A^*\)算法中的估价函数思想。（\(\frac{2(n-v)}{R_{u+1}}+s\) 类似于估价函数）
数据梳理
-
体积： \(n=\sum_{i=1}^mR_i^2H_i\)
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面积：\(S=\sum2R_iH_i+R_M^2\)
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剪枝：
- 1.优化搜索顺序
- 2.上下界剪枝
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\[R\in [u,min(R_{u+1}-1,\sqrt{n-v})] \]
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\[H\in [u,min(H_{u+1}-1,\frac{n-v}{R_{u}\times R_{u}})] \]
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- 3.可行性剪枝（体积和越界）
-
\[v+minv[u] > n \]
-
- 4.最优性剪枝（面积和更差）
-
\[s+mins[u]>ans \]
-
- 最优性剪枝（面积和更差）
-
\[s+\frac{2(n-v)}{R_{u+1}} > ans \]
-
-
为什么要保留两个面积和更差的剪枝？
-
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第4、5个剪枝虽都围绕表面积优化，但二者存在本质差异与互补性，具体原因如下：
1. 原理不同，覆盖不同逻辑分支
- 第4个剪枝：基于预处理的固定值
mins[u]（前u层最小侧面积和，每层取半径、高度为层号时的侧面积累加）。它是一种“静态通用下限”，只要当前表面积s + mins[u] > ans，就说明即使剩余层取理论最小侧面积，总表面积仍超最优解，直接剪枝。 - 第5个剪枝：通过剩余体积
n - v动态推导侧面积下限，结合半径关系（如R_{u+1}）。它是“动态实时下限”，利用剩余体积的分配逻辑，推导出侧面积必然超标的情况，剪枝与剩余体积强相关的无效分支。
2. 场景互补，提升剪枝全面性
- 第4个剪枝：处理“仅侧面积部分就已超最优解”的通用场景，不依赖剩余体积的具体数值，通过预处理数组快速判断。
- 第5个剪枝：处理“因剩余体积分配导致侧面积超标”的特殊场景，利用体积与半径的数学关系，覆盖第4个剪枝未涉及的逻辑。
3. 效率互补，减少无效计算
- 单独使用第4个剪枝，无法利用剩余体积的动态信息，可能遗漏与体积相关的无效分支；单独使用第5个剪枝，缺少对通用最小侧面积的快速判断。
- 两者结合，从“固定预处理下限”和“动态体积推导下限”两个维度，更全面地过滤无效搜索路径，大幅减少DFS的计算量，提升算法效率。
Answer
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int Inf = 1e9;
int minv[30],mins[20],n,m;
int ans = Inf;
void dfs(int u,int r,int h,int v,int s){if(u == 0){if(s < ans and v == n) ans = s;return ;}if(v+minv[u] > n) return;if(s+mins[u]>=ans) return;if(s+2*(n-v)/r >= ans) return;for(int i = min(r-1,(int)sqrt(n-v));i >= u;i--){for(int j = min(h-1,(n-v)/(i*i));j >= u;j--){dfs(u-1,i,j,v+i*i*j,s+2*i*j+(u==m?i*i:0));}}
}
int main(){cin>>n>>m;for(int i = 1;i <= m;i++){mins[i] = mins[i-1]+2*i*i;minv[i] = minv[i-1]+i*i*i;}dfs(m,Inf,Inf,0,0);//从下向上遍历if(ans == Inf) puts("0");else cout<<ans<<endl;
}
