统计中的三大检验

t 检验

常用于:

• 正态总体方差未知，单样本均值检验；（方差已知用 z-test, 非正态总体小样本用切比雪夫不等式）；
• 两独立正态总体，方差未知但相等，均值差检验；（方差已知用 z-test；方差未知且不等时使用 Welch's t 检验，大样本下正态近似也能用 z-test）；
• 两独立正态总体，小样本，配对样本均值差检验；（大样本用 z-test）；
• 回归分析中单个回归系数的显著性检验。

卡方检验

⽤于⽐较观测频数与期望频数的差异，常⽤于分类数据。卡方检验通常是通过列联表来进行的，尤其是在分析分类变量之间的独立性时。

常用于：

• 正态总体单样本方差检验，适用于对正态总体的单样本的方差进行检验；
• 卡方拟合优度检验：主要用于确定某个非连续型变量是否可能来自指定的分布（连续型可将连续变量离散化为几个区间，亦可使用 K-S 检验）；
• 卡方独立性检验（列联分析）：用于检验两个分类变量之间或者一个分类变量与顺序变量之间是否存在关联或独立。 $\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}$. 其中：O 为观察值，E 为期望值。例子
• 方差分析 F 检验，注意方差分析中的 F 检验是单侧检验，因为 MSA≥MSE 是必然的，所以只可能有单侧的情况。

对于拟合优度检验，虽然不一定需要列联表，但通常仍然会用表格形式列出观察值和期望值进行计算。

结论：

卡方检验在独立性检验场景下通常是通过列联表进行的，而在拟合优度检验中则可以不依赖列联表。

F 检验

常用于：

• 两独立正态总体，方差比检验；
• 回归分析中整体回归模型的显著性检验；
• 单因素/多因素方差分析，比较多个组均值差异。

t 检验与 F 检验

引申：方差分析和两两 t-test 比较的相比的优势，每多做一次假设检验，就多一份犯错误（不管是第一类还是第二类）的概率。

图源方差分析后的两两比较，你该不会还这样选吧！？