CF1458C题解

题面

首先我们发现LDRU是好维护的，重点是IC操作。我们考虑发掘一下性质将所有I和C操作移到最前面。显然UD对于I是没有影响的，可以直接交换位置即UI等价于IU，DI等价于ID，LR对C同理。

所以接下来我们只需要考虑LR对于后面的I和UD对于后面的C的影响。这里用RI举例，我们考虑一下RI的情形本质是怎么样的。我们分析一下，假设原来排列中存在 \(a_i=d\) ，经过I操作后可以得到 \(a_d=i\)，而先进行R得到 \(a_{i+1}=d\)，再做I操作变成 \(a_d=i+1\) 于是我们得到了一个新操作，我们令“+”表示将所有数加一。那么RI等价于I+，同理，LI等价于I-，UC等价于C-，DC等价于C+。

但是现在又有了，+和-操作与IC依然不符合交换律，所以我们继续分析，还是用I举例。考虑操作+I的本质。假设原来排列中存在 \(a_i=d\) ，经过I操作后可以得到 \(a_d=i\)，而先进行+得到 \(a_i=d+1\)，再做I操作变成 \(a_{d+1}=i\)，所以+I操作等价于IR,同理，-I等价于IL，-C等价于CU，+C等价于CD。

现在我们就成功将操作序列转化为了一堆I/C，后面一堆+/-以及LRDU，后面的几种操作显然是满足交换率的很好做，前面的IC序列经过观察发现ICI和CIC两种操作是等价的，证明如下：将每个点看作三元组 \((i,j,a_{i,j})\)，操作I后变成 \((i,a_{i,j},j)\)，操作C后变成 \((a_{i,j},j,i)\)，所以一个点经过上面两种变化后都会变成 \((j,i,a_{i,j})\)。而相邻的两个I或者两个C都可以抵消，所以前面的IC序列最终会等价与一个长度不超过3的序列，这道题就做完了。