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【暴力枚举】【度数】【有向图】【无向图】

题目来源

1761. 一个图中连通三元组的最小度数
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题目解读

现在有一个无向图，找出连通三元组中度数的最小值，如果没有三元组，则返回 -1。连通三元组指的是三个节点组成的集合并且两两之间有边。连通三元组的度数指的是排除指向三元组其他顶点的度数。

解题思路

方法一：无向图暴力枚举

看看数据 $O(n^3)$ 的时间复杂度不会超时。于是直接枚举所有的三元组，找出最小的度数即可。

具体实现中，需要建立起顶点之间的邻接表 grids，两个顶点之间相连用 girds[i][j] = 1 表示。需要统计每个节点的度 degree[i]。

枚举所有顶点时，如果 grids[i][j] = 1 且 grids[j][k] = 1 且 grids[k][i] = 1 时，我们则认为顶点 i、j、k 构成连通三元组。该连通三元组的度数为 degree[i] + degree[j] + degree[k] - 6。

代码

class Solution {
public:int minTrioDegree(int n, vector<vector<int>>& edges) {vector<vector<int>> grids(n, vector<int>(n));vector<int> degree(n);for (auto& edge : edges) {int x = edge[0] - 1, y = edge[1] - 1;grids[x][y] = grids[y][x] = 1;++degree[x];++degree[y];}int res = INT_MAX;for (int i = 0; i < n; ++i) {for (int j = i+1; j < n; ++j) {if (grids[i][j] == 1) {for (int k = j+1; k < n; ++k) {if (grids[j][k] == 1 && grids[k][i] == 1) {res = min(res, degree[i] + degree[j] + degree[k] - 6);}}}}}return res == INT_MAX ? -1 : res;}
};

复杂度分析

时间复杂度： $O(n^3)$ ， $n$ 为顶点个数。

空间复杂度： $O(n^2)$ ，因为需要存储顶点之间的关系即邻接矩阵的大小。

方法二：给无向图定向

因为本题的数据规模在 $10^2$ 左右，暴力枚举的时间复杂度也在 $10^7$ 左右，所以可以过。但是如果数据规模再大一些，比如 $10^5$ ，那么无向图的暴力枚举一定过不了。对这样规模的数据，如何解决呢？

我们考虑给无向图定向，具体地，如果图中的两个顶点 i，j，它们之间有一条无向边：

如果 degree[i] < degree[j]，那么边的方向由 i 指向 j；
如果 degree[i] > degree[j]，那么边的方向由 j 指向 i；
如果 degree[i] = degree[j]，那么边的方向由编号较小的顶点指向编号较大的顶点；

我们给无向图进行以上规则的定向之后，任意一个节点的出度都不会超过 $\sqrt{2m}$ ， $m$ 为图的边数，现在利用反证法进行证明。

假设节点 i 的出度大于 $\sqrt{2m}$ ，那么节点 i 在原始无向图中的度数（出度+入度）大于 $\sqrt{2m}$ ，那么顶点 i 指向的顶点在无向图中的入度大于 $\sqrt{2m}$ ，其出度自然也大于 $\sqrt{2m}$ 。因此总数大于 $\sqrt{2m} * \sqrt{2m} = 2m$ （第一个 $\sqrt{2m}$ 表示从顶点 i 出去的边的数量），这与边数为 $m$ 的图总度数为 $2 m$ 矛盾。于是任意一个节点的出度都不会超过 $\sqrt{2m}$ 。

接下来进行有向图上的连通三元组枚举计算就可以了。

实现中除了要使用一个数组 degree 记录各个顶点的度数之外，还会使用到哈希集合 grids 来记录原无向图中与各个顶点连接的所有顶点，使用二维数组 h 记录有向图。

代码

class Solution {
public:int minTrioDegree(int n, vector<vector<int>>& edges) {vector<unordered_set<int>> grids(n);    // 原无向图vector<vector<int>> h(n);               // 有向图vector<int> degree(n);                  // 统计节点度数for (auto& edge : edges) {int x = edge[0] - 1, y = edge[1] - 1;grids[x].insert(y);grids[y].insert(x);++degree[x];++degree[y];}for (auto& edge : edges) {int x = edge[0] - 1, y = edge[1] - 1;if (degree[x] < degree[y] || (degree[x] == degree[y] && x < y)) {h[x].push_back(y);}else {h[y].push_back(x);}}int res = INT_MAX;for (int i = 0; i < n; ++i) {for (int j : h[i]) {for (int k : h[j]) {if (grids[i].count(k)) {res = min(res, degree[i] + degree[j] + degree[k] - 6);}}}}return res == INT_MAX ? -1 : res;}
};

复杂度分析

时间复杂度： $O(n+m\sqrt{m})$ ，因为枚举连通三元组第一层是枚举的是顶点 i 指向顶点 j 构成的边，这一步部分时间复杂度为 $O (m)$ ；第二层枚举 j 指向节点 k，由于 j 的出度不超过 $\sqrt{2m}$ ，这一部分时间复杂度为 $O(\sqrt{m})$ ；第三层判断 k 是否与 i 构成无向边，使用哈希表，时间复杂度为 $O (1)$ 。其中， $n$ 为顶点的数量， $m$ 为图中的边数。