零极点分析的基本原理、应用和意义

在信号处理和系统理论领域，零极点分析是一项重要的技术，用于研究和分析滤波器的特性和行为。通过观察滤波器的零点和极点在复平面上的分布情况，我们可以揭示滤波器的频率响应、稳定性和传输特性等关键信息。本文将探讨零极点分析的原理、应用和意义，带你一起揭开滤波器特性的奥秘。

极点在右零点在左是低通
极点在左零点在右是高通
极点在零点中间是带通
零点在极点中间是带阻

零点是指使z变换X(z)的值为零的z值，极点是指使X(z)的值为∞的z值。如果X(z)是有理分式，表示为：

也可以理解为：

零点：传递函数分子的根
极点：传递函数分母的根

物理意义为，

零点：当系统输入幅度不为零，且输入频率使系统输出为零时，此输入频率值即为零点。
极点：当系统输入幅度不为零，且输入频率使系统输出为无穷大（系统稳定性遭到破坏，发生振荡)时，此频率值即为极点。

零极点的影响：

从时间域上，极点和零点会影响二端口网络的瞬时响应（就是大家做仿真时候看的transient）。例如，如果有些零极点对会造成电路输出上升下降时间很慢。二端口网络拉普拉斯域输出Vout(s)即输入Vin(s)与传输函数H(s)的乘积：

重点关注，零极点对模拟系统的影响。

每过一个极点增益曲线会以-20dB/dec 的斜率下降，每过一个零点增益曲线会以+20dB/dec的斜率上升。
极点频率下该极点相移为 45°，当频率大于该极点频率 10 倍以上时，该极点相移近似达到 90 度。（一个极点最多相移90°）
稳定性可由增益裕度 GM 和相位裕度 PM 表示，增益裕度是说正反馈时环路增益小于1的程度；相位裕度是说环路增益为1时相移远离正反馈的程度，对于相移单调系统，GM和PM一致，GM大则PM大，稳定性好，一般系统稳定要求 45 度~60 度的 PM。可以证明，当次极点在 UGB 以外时(即 UGB 内只包含一个主极点)，此时系统相位裕度大于 45°。

系统的零极点决定了系统的频率特性和稳定性。系统的稳定性与闭环传递函数的极点有关。如果闭环传递函数的所有极点都在s平面的左半平面，即实部都为负数，那么系统是稳定的。如果有任何一个极点在s平面的右半平面，即实部为正数，那么系统是不稳定的。如果有极点在虚轴上，即实部为0，那么系统是临界稳定的，会发生持续振荡。

只含有左半平面极点的系统才是稳定的，因为这样可以保证系统对任何有界输入都能产生有界输出。如果有右半平面极点，那么系统对某些输入会产生无界输出，即发散。如果有虚轴上的极点，那么系统对某些输入会产生持续振荡，即不收敛。

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通过在0到 $\pi$ 区间内的DTFT谱线就可以判断系统的滤波类型。靠近0的是低频部分，靠近 $\pi$ 的是高频部分（上图中是两个低通系统）。由于极点会对于附近单位圆上的 $H(e^{j\Omega })$ 值有贡献，因此,在IIR系统中，一般通过极点的分布判断滤波类型，如果极点集中分布在单位圆的左边（低频），是低通，反之在右边则是高通。在FIR系统中，由于所有极点都位于圆心，对于单位圆上各点贡献是一样的，我们就需要观察单位圆附近零点的位置。如果单位圆右边密集着分布着零点，那么高频部分的 $H(e^{j\Omega })$ 值基本为零，系统就是一个低通系统。

一、零极点分析的基本原理

在深入了解零极点分析之前，我们首先需要了解什么是零点和极点。在滤波器的传递函数中，零点是使得传递函数为零的频率值，而极点则是使得传递函数无穷大的频率值。通过将传递函数表示为分子和分母多项式的比值，我们可以获得滤波器的零极点。

传递函数的分子多项式表示零点，而分母多项式表示极点。具体而言，分子多项式的根表示零点的位置，而分母多项式的根则表示极点的位置。通过观察这些根在复平面上的分布情况，我们可以了解滤波器的特性。

二、零极点分析的应用和意义

零极点分析在滤波器设计、频率响应评估和稳定性分析等方面具有广泛的应用。让我们来看看它们在实际中的应用和意义。

1. 频率响应评估 ：通过观察滤波器的零点和极点在复平面上的位置，我们可以推断滤波器对不同频率的信号的响应。具体而言，零点和极点的位置决定了滤波器在不同频率下的增益和相位响应。这对于了解滤波器的频率特性和选择合适的滤波器类型非常重要。

2. 稳定性分析 ：通过观察极点的位置，我们可以判断滤波器是否稳定。如果所有的极点都位于单位圆内部，那么滤波器是稳定的。反之，如果有极点位于单位圆外部，滤波器可能是不稳定的。稳定性是滤波器设计中必不可忽视的因素，因为稳定的滤波器可以确保系统的可靠性和预测性能。

3. 滤波器设计和优化 ：零极点分析在滤波器的设计和优化中发挥着关键作用。通过调整零点和极点的位置，我们可以控制滤波器的频率特性和响应。例如，通过移动零点和极点的位置，我们可以改变滤波器的截止频率、带宽和斜率等参数。这种灵活性使得零极点分析成为滤波器设计中的重要工具，可以满足不同应用的需求。

在分析零极点图时，可以通过以下几个步骤来观察和理解图形中的信息：

1.零点和极点的位置：观察图中的零点和极点在复平面上的位置分布。零点通常用圆圈表示，而极点通常用叉（如红色叉）表示。注意它们的位置相对于原点以及它们在实轴和虚轴上的分布情况。

2.零点和极点的数量：计算零点和极点的数量。它们的数量可能会对系统的特性和频率响应产生影响。例如，零点的数量决定了系统在不同频率上的增益变化，而极点的数量则决定了系统的阶数和稳定性。

3.零点和极点的相关性：观察零点和极点之间的相关性和互相之间的位置关系。例如，零点和极点是否成对出现，是否存在共轭对称的关系，以及它们的距离和角度关系。这些关系可以提供有关滤波器的相位响应、幅频特性和稳定性的信息。

4.零点和极点的对称性：检查零点和极点的对称性。如果零点和极点是共轭对称分布的，即它们成对出现并以实轴为对称轴，那么滤波器的频率响应将是实数值。这种对称性可以对设计无失真滤波器或频率选择性滤波器提供指导。

5.零点和极点的角度和频率响应：观察零点和极点的角度和频率响应。零点和极点的角度可以提供有关相位响应的信息，而频率响应可以反映滤波器在不同频率上的增益变化和特性。

通过观察和分析零极点图，我们可以获得有关滤波器特性、频率响应、相位响应和稳定性等方面的重要信息。这有助于我们理解系统的行为、设计滤波器和优化系统的性能。