AVL树

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本博客主要内容介绍数据结构中的avl树

AVL树

Ⅰ.avl树

底层结构

前面对map/multimap/set/multiset进行了简单的介绍，在其文档介绍中发现，这几个容器有个 共同点是：其底层都是按照二叉搜索树来实现的，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中 插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N)，因此 map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。

Ⅱ. avl树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查 找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii 和E.M.Landis在1962年 发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右 子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均 搜索长度。 一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

• 它的左右子树都是AVL树
• 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
• 
  如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在 $O(lo{g}_{2}n)$，搜索时间复杂度O($lo{g}_{2}n$)。

Ⅱ. Ⅰ AVL树节点的定义

二叉树节点的定义：

template<class T>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode(const T& data): _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr), _data(data), _bf(0){}AVLTreeNode<T>* _pLeft;   // 该节点的左孩子AVLTreeNode<T>* _pRight;  // 该节点的右孩子AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲T _data;int _bf;                  // 该节点的平衡因子
};

Ⅱ. Ⅱ AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么 AVL树的插入过程可以分为两步：

bool Insert(const T& data)
{// 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中// ...// 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否
破坏了AVL树//   的平衡性/*pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负21. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整
成0，此时满足AVL树的性质，插入成功2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更
新成正负1，此时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进
行旋转处理*/while (pParent){// 更新双亲的平衡因子if (pCur == pParent->_pLeft)pParent->_bf--;elsepParent->_bf++;// 更新后检测双亲的平衡因子if (0 == pParent->_bf){    break;}else if (1 == pParent->_bf || -1 == pParent->_bf){// 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因为为1 或者 -1 ，说明以双亲
为根的二叉树// 的高度增加了一层，因此需要继续向上调整pCur = pParent;pParent = pCur->_pParent;}else{// 双亲的平衡因子为正负2，违反了AVL树的平衡性，需要对以pParent// 为根的树进行旋转处理if(2 == pParent->_bf){// ...}else{// ...}}}return true;
}

Ⅱ. Ⅲ AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构， 使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

①新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋

/*
上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到8的左子树(注意：此处不是左孩子)中，8左
子树增加
了一层，导致以34为根的二叉树不平衡，要让34平衡，只能将34左子树的高度减少一层，右子
树增加一层，
即将左子树往上提，这样34转下来，因为34比8大，只能将其放在8的右子树，而如果8有
右子树，右子树根的值一定大于8，小于34，只能将其放在34的左子树，旋转完成后，更新节点
的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：1. 8节点的右孩子可能存在，也可能不存在2. 34可能是根节点，也可能是子树如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树同学们再此处可举一些详细的例子进行画图，考虑各种情况，加深旋转的理解
*/
void _RotateR(PNode pParent)
{// pSubL: pParent的左孩子// pSubLR: pParent左孩子的右孩子，注意：该PNode pSubL = pParent->_pLeft;PNode pSubLR = pSubL->_pRight;// 旋转完成之后，8的右孩子作为双亲的左孩子pParent->_pLeft = pSubLR;// 如果8的左孩子的右孩子存在，更新亲双亲if(pSubLR)pSubLR->_pParent = pParent;// 34 作为 8的右孩子pSubL->_pRight = pParent;// 因为34可能是棵子树，因此在更新其双亲前必须先保存34的双亲PNode pPParent = pParent->_pParent;// 更新34的双亲pParent->_pParent = pSubL;// 更新8的双亲pSubL->_pParent = pPParent;// 如果34是根节点，根新指向根节点的指针if(NULL == pPParent){_pRoot = pSubL;pSubL->_pParent = NULL;}else{// 如果34是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树if(pPParent->_pLeft == pParent)pPParent->_pLeft = pSubL;elsepPParent->_pRight = pSubL;}// 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子pParent->_bf = pSubL->_bf = 0;
}

②新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋

实现方法和右单旋极其类似

void RotateL(node* parent){node* subR = parent->_right;node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;node* ppnode = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (ppnode == nullptr){_root = subR;_root->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = subR;}else{ppnode->_right = subR;}subR->_parent = ppnode;}parent->_bf = subR->_bf = 0;}

③新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再 考虑平衡因子的更新。

	void RotateLR(node* parent){node* subL = parent->_left;node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);//以下更新节点的平衡因子的情况需要通过一个一个画图去分析if (bf == 1){parent->_bf = 0;subLR->_bf = 0;subL->_bf = -1;}else if (bf == -1){parent->_bf = 1;subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;}else if (bf == 0){parent->_bf = 0;subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;}else{assert(false);}}

④新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋

	void RotateRL(node* parent){node* subR = parent->_right;node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);//以下更新节点的平衡因子的情况需要通过一个一个画图去分析if (bf == 1){parent->_bf = -1;subRL->_bf = 0;subR->_bf = 0;}else if (bf == -1){parent->_bf = 0;subRL->_bf = 0;subR->_bf = 1;}else if (bf == 0){parent->_bf = 0;subRL->_bf = 0;subR->_bf = 0;}else{assert(false);}}

Ⅲ. AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

①验证其为二叉搜索树

如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树

②验证其为平衡树

• 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
• 节点的平衡因子是否计算正确

int _Height(PNode pRoot);
bool _IsBalanceTree(PNode pRoot)
{// 空树也是AVL树if (nullptr == pRoot) return true;// 计算pRoot节点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差int leftHeight = _Height(pRoot->_pLeft);int rightHeight = _Height(pRoot->_pRight);int diff = rightHeight - leftHeight;// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者// pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树if (diff != pRoot->_bf || (diff > 1 || diff < -1))return false;// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树return _IsBalanceTree(pRoot->_pLeft) && _IsBalanceTree(pRoot-
>_pRight);}

③验证用例

请同学们结合上述代码按照以下的数据次序，自己动手画AVL树的创建过程，验证代码 是否有漏洞。

• 常规场景1

  {16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15}

• 特殊场景2

  {4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14}

Ⅳ.AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这 样可以保证查询时高效的时间复杂度，即$lo{g}_2(N)$。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操 作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时， 有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数 据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

[什么是AVL树][https://zhuanlan.zhihu.com/p/56066942]

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