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费马定理

罗尔定理

拉格朗日中值定理

柯西中值定理

几个常用的泰勒公式

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微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它用于描述一个函数在某个区间内的平均变化率与该区间内某一点的瞬时变化率之间的关系。微分中值定理有两个主要形式：拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

费马定理

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费马引理是微分中值定理的一种特殊情况，它表明如果在某段曲线中存在一个点使得函数的值达到极值，那么这个函数的导数在该点的值为零。这个引理的现代形式如下：如果f(x)在[a,b]上可导，且在开区间(a,b)上f'(+(x))=0或f'(-(x))=0，那么f(x)在开区间(a,b)上至多有一个极值点。

罗尔定理

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罗尔微分中值定理（英文：Rolle’s Mean Value Theorem或Rolle定理，又称：罗尔定理、罗尔中值定理、罗尔-拉格朗日中值定理或罗尔-拉氏定理，又称：CR定理、洛尔定理或勒尔定理）是微分学中的一条重要定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。

定理的现代形式如下：如果函数f(x)在闭区间上[a,b]连续，在开区间(a,b)上可导，那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

拉格朗日中值定理

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拉格朗日中值定理（英文：Lagrange mean value theorem或Lagrange’s Mean Value Theorem，又称：拉氏定理、有限增量定理）是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。

定理的现代形式如下：如果函数f(x)在闭区间上[a,b]连续，在开区间(a,b)上可导，那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

1797年，拉格朗日中值定理由法国数学家约瑟夫·拉格朗日在《解析函数论》中首先提出，并提供了最初的证明。现代形式的拉格朗日中值定理由法国数学家O.博内提出。

柯西中值定理

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柯西中值定理（英文：Cauchy mean value theorem或Cauchy’s Mean Value Theorem，又称：拉氏定理、有限增量定理）是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。

定理的现代形式如下：如果函数f(x)在闭区间上[a,b]连续，在开区间(a,b)上可导，那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

柯西中值定理可以视作在参数方程下拉格朗日中值定理的表达形式。

几个常用的泰勒公式

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以下是一些常用的泰勒公式：

1. sinx：sin x = x - 1/6 x^3 + O(x^3)。
2. arcsinx：arcsin x = x + 1/6 x^3 + O(x^3)。
3. tanx：tan x = x + 1/3 x^3 + O(x^3)。

泰勒公式是一个数学工具，可以用来近似复杂函数。它基于将函数展开成无穷级数的方法，其中每个级数的项都是函数在某一点的导数除以该点的自变量。