行列式

二阶行列式

行列式引自对线性方程组的求解。考虑两个方程的二元线性方程组
$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2 \end{cases}$
可使用消元法，得
$a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})x_1=b_1a_{22}-a_{12}b_2 \\ (a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})x_2=a_{11}b_2-b_1a_{21}$
当 $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\neq 0$ 时，得
$x_1=\frac{b_1a_{22}-a_{12}b_2}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}},\quad x_2=\frac{a_{11}b_2-b_1a_{21}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}$
从方程组解来看，分母 $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$ 是系数矩阵 $A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix}$ 的元素计算得到，称这个值为矩阵 $A$ 的二阶行列式(determinant)，记为 $\det A$ 或 $∣ A ∣$ ，或记为数表形式
$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$
利用二阶行列式的概念，分子也可写为二阶行列式
$\det A_1=\begin{vmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22}\end{vmatrix}=b_1a_{22}-a_{12}b_2 \\ \det A_2=\begin{vmatrix} a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2\end{vmatrix}=a_{11}b_2-b_1a_{21}$
从上面对比可以看出， $x_j$ 的矩阵 $A_j$ 是系数矩阵 $A$ 的第 $j$ 列用常数项代替后的矩阵。这样，方程组的解可表示为
$x_1=\frac{\det A_1}{\det A},\quad x_2=\frac{\det A_2}{\det A}$

$n$ 阶行列式

考虑三个方程的三元线性方程组，系数矩阵为
$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}$
用消元法可知未知数的分母同样是系数矩阵 $A$ 的元素运算得到，于是定义三阶行列式为
$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} =a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} -a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}$
由二阶行列式的定义，上式可变为
$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}= a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}- a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33}\end{vmatrix}+ a_{13}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}$
进一步探索 $n$ 元线性方程组，可知高阶行列式定义。为书写方便，把元素 $a_{ij}$ 所在的行和列划掉后，剩下的元素组成的行列式称为 $a_{ij}$ 的余子式(cofactor)，记作 $M_{ij}$ ，并称
$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$
为 $a_{ij}$ 的代数余子式(algebraic cofactor)。

定义：方阵 $A$ 的行列式用第一行元素的代数余子式定义为
$\det A=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n} \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \\ \end{vmatrix}=\sum_{j=1}^na_{1j}A_{1j}$
由定义易知，行列式可以按任意行(列)展开。
$\det A=\sum_{j=1}^na_{ij}A_{ij}, \quad \text{by row }i \\ \det A=\sum_{i=1}^na_{ij}A_{ij}, \quad \text{by col }j$

行列式的性质

性质：使用数学归纳法可知

行列式与其转置行列式相等： $det A^T=\det A$
互换行列式两行(列)，行列式改变符号。
$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}c&d\\a&b\end{vmatrix}$
行列式的某一行(列)所有元素同乘以数 $k$ ，等于数 $k$ 乘以该行列式。
$\begin{vmatrix}ka&b\\kc&d\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$
若行列式的某一行(列)的为两组数之和，则可表示为两行列式之和。
$\begin{vmatrix}a_1+a_2&b\\c_1+c_2&d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_1&b\\c_1&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_2&b\\c_2&d\end{vmatrix}$
把行列式的某一行(列)所有元素同乘以数 $k$ 都加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变。
$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a+kb&b\\c+kd&d\end{vmatrix}$
矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积： $\det(AB)=(\det A)(\det B)=\det(BA)$

推论：

行列式中若有两行(列)元素相同，该行列式的值为零。
行列式中某一行(列)的公因子可以提取到行列式符号外面。
行列式中若有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零。
$det(kA)=k^n\det A$

由上面的性质，我们很容易得到：

出现零行和零列的行列式为零。
对角阵 $A=\text{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$ 的行列式 $\det A=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$ 。
如果 $A$ 是三角阵，行列式为主对角线元素的乘积。

对于高阶行列式，一般利用行列式的性质，初等变换化为三角行列式求解。

示例：可用数学归纳法证明范德蒙行列式(Vandermonde determinant)：
$\begin{vmatrix} 1 & 1& \cdots &1 \\ a_1 &a_2&\cdots &a_n \\ a_1^2 &a_2^2&\cdots &a_n^2 \\ \vdots &\vdots&\vdots &\vdots \\ a_1^{n-1} &a_2^{n-1}&\cdots &a_n^{n-1} \end{vmatrix}=\prod_{1⩽ i<j⩽n}(a_j-a_i)$

行列式函数：若 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，可以将 $\det A$ 看作 $A$ 中 $n$ 个列向量的函数。若 $A$ 中除了一列之外都是固定的向量，则 $\det A$ 是线性函数。

假设第 $j$ 列是变量，定义映射 $\mathbf x\mapsto T(\mathbf x)$ 为
$T(\mathbf x)=\det A=\det\begin{bmatrix}\mathbf a_1\cdots\mathbf x\cdots\mathbf a_n\end{bmatrix}$
则有
$T(c\mathbf x)=cT(\mathbf x) \\ T(\mathbf u+\mathbf v)=T(\mathbf u)+T(\mathbf v)$

克拉默法则

这里只讨论方程个数和未知数相等的 $n$ 元线性方程组
$A\mathbf x=\mathbf b$
若 $\det A\neq0$ ，那么它有唯一解
$x_j=\frac{\det A_j(\mathbf b)}{\det A},\quad(j=1,2,\cdots,n)$

约定 $A_j(\mathbf b)$ 表示用向量 $\mathbf b$ 替换矩阵 $A$ 的第 $j$ 列。

证：用 $\mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_n$ 表示矩阵 $A$ 的各列， $\mathbf e_1,\mathbf e_2,\cdots,\mathbf e_n$ 表示单位阵 $I_n$ 的各列。由分块矩阵乘法
$\begin{aligned} AI_j(\mathbf x)&=A\begin{bmatrix}\mathbf e_1&\cdots&\mathbf x&\cdots&\mathbf e_n\end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix}A\mathbf e_1&\cdots& A\mathbf x&\cdots& A\mathbf e_n\end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix}\mathbf a_1&\cdots&\mathbf b&\cdots&\mathbf a_n\end{bmatrix} \\ &=A_j(\mathbf b) \end{aligned}$
由行列式的乘法性质
$\det A\det I_j(\mathbf x)=\det A_j(\mathbf b)$
左边第二个行列式可沿第 $j$ 列余子式展开求得 $\det I_j(\mathbf x)=x_j$ 。从而
$x_j\det A=\det A_j(\mathbf b)$
若 $\det A\neq0$ ，则上式得证。

行列式的几何理解

Grant：行列式告诉你一个线性变换对区域的缩放比例。

我们已经知道，线性变换保持网格线平行且等距。为了方便，我们只考虑在平面直角坐标系内，单位基向量 $\mathbf i,\mathbf j$ 所围成的单位正方形区域的线性变换。

根据向量加法的平行四边形法则和线性变换基本性质知，变换后的区域为矩阵 $A=\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}$ 的列向量 $\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}$ 为邻边的平行四边形区域。

结论：二阶行列式的值表示由 $A$ 的列确定的有向平行四边形的面积。

(1) 若 $A$ 为对角阵，显然行列式 $\det\begin{bmatrix}a & b\\0 & d\end{bmatrix}$ 表示底为 $a$ ，高为 $d$ 的平行四边形面积

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(2) 更一般的情况 $A=\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}$ ，可以看出，行列式的值与面积有着紧密的联系。

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(3) 矩阵 $\begin{bmatrix}a^2 & a\\a & 1\end{bmatrix}$ 表示将单位正方形压缩成线段，面积自然为0，行列式的值为0

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单位正方形区域缩放的比例，其实可以代表任意给定区域缩放的比例。这是因为，线性变换保持网格线平行且等距。对于空间中任意区域的面积，借助微积分的思想，我们可以采用足够的小方格来逼近区域的面积，对所有小方格等比例缩放，则整个区域也以同样的比例缩放。
$\text{volume }T(\Omega) = (\det T)(\text{volume }\Omega)$
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