图
在现实生活中，有许多应用场景会包含很多点以及点点之间的连接，而这些应用场景我们都可以用即将要学习的图
这种数据结构去解决
地图
我们生活中经常使用的地图，基本上是由城市以及连接城市的道路组成，如果我们把城市看做是一个一个的点，把
道路看做是一条一条的连接，那么地图就是我们将要学习的图这种数据结构
电路图
下面是一个我们生活中经常见到的集成电路板，它其实就是由一个一个触点组成，并把触点与触点之间通过线进行
连接，这也是我们即将要学习的图这种数据结构的应用场景
图的定义及分类
定义:图是由一组顶点和一组能够将两个顶点相连的边组成的
特殊的图
- 自环:即一条连接一个顶点和其自身的边
- 平行边:连接同一对顶点的两条边
图的分类
按照连接两个顶点的边的不同，可以把图分为以下两种
- 无向图：边仅仅连接两个顶点，没有其他含义
- 有向图：边不仅连接两个顶点，并且具有方向
无向图
图的相关术语
相邻顶点
当两个顶点通过一条边相连时，我们称这两个顶点是相邻的，并且称这条边依附于这两个顶点
度
某个顶点的度就是依附于该顶点的边的个数
子图
是一幅图的所有边的子集(包含这些边依附的顶点)组成的图
路径
是由边顺序连接的一系列的顶点组成
环
是一条至少含有一条边且终点和起点相同的路径
连通图
如果图中任意一个顶点都存在一条路径到达另外一个顶点，那么这幅图就称之为连通图
连通子图
一个非连通图由若干连通的部分组成，每一个连通的部分都可以称为该图的连通子图
图的存储结构
要表示一幅图，只需要表示清楚以下两部分内容即可
- 图中所有的顶点
- 所有连接顶点的边
常见的图的存储结构有两种：邻接矩阵和邻接表
邻接矩阵
- 使用一个V*V的二维数组int [V] [V] adj,把索引的值看做是顶点；
- 如果顶点v和顶点w相连，我们只需要将adj[v] [w]和adj[w] [v]的值设置为1,否则设置为0即可
很明显，邻接矩阵这种存储方式的空间复杂度是V^2的，如果我们处理的问题规模比较大的话，内存空间极有可能不够用
邻接表
- 使用一个大小为V的数组 Queue[V] adj，把索引看做是顶点；
- 每个索引处adj[v]存储了一个队列，该队列中存储的是所有与该顶点相邻的其他顶点
很明显，邻接表的空间并不是是线性级别的，所以后面我们一直采用邻接表这种存储形式来表示图
图的实现
图的API设计
| 类名 | Graph |
|---|---|
| 构造方法 | Graph(int V)：创建一个包含V个顶点但不包含边的图 |
| 成员方法 | 1.public int V():获取图中顶点的数量 2.public int E():获取图中边的数量 3.public void addEdge(int v,int w):向图中添加一条边 v-w 4.public Queue adj(int v)：获取和顶点v相邻的所有顶点 |
| 成员变量 | 1.private final int V: 记录顶点数量 2.private int E: 记录边数量 3.private Queue[] adj: 邻接表 |
代码实现
package com.vmware;import java.util.ArrayDeque;
import java.util.Queue;/*** @apiNote 基于临接表的图实现*/
public class Graph {//顶点数目private int V;//边的数目private int E;//临接表private Queue<Integer>[] adj;public Graph(int V) {this.V = V;this.E = 0;this.adj = new ArrayDeque[V];//init queuefor (int i = 0; i < this.adj.length; i++) {this.adj[i] = new ArrayDeque<>();}}//获取顶点的数目public int V() {return V;}//获取边的数目public int E() {return E;}//向图中添加一条边public void addEdge(int v, int w) {adj[v].add(w);adj[w].add(v);E++;}//获取和顶点v相邻的所有顶点public Queue<Integer> adj(int v) {return adj[v];}
}
图的搜索
在很多情况下，我们需要遍历图，得到图的一些性质，例如，找出图中与指定的顶点相连的所有顶点，或者判定某个顶点与指定顶点是否相通，是非常常见的需求
有关图的搜索，最经典的算法有深度优先搜索和广度优先搜索，接下来我们分别讲解这两种搜索算法
深度优先搜索
所谓的深度优先搜索，指的是在搜索时，如果遇到一个结点既有子结点，又有兄弟结点，那么先找子结点，然后找
兄弟结点
很明显，在由于边是没有方向的，所以，如果4和5顶点相连，那么4会出现在5的相邻链表中，5也会出现在4的相邻链表中，那么为了不对顶点进行重复搜索，应该要有相应的标记来表示当前顶点有没有搜索过，可以使用一个布尔类型的数组 boolean[V] marked,索引代表顶点，值代表当前顶点是否已经搜索，如果已经搜索，标记为true，如果没有搜索，标记为false
API设计
| 类名 | DepthFirstSearch |
|---|---|
| 构造方法 | DepthFirstSearch(Graph G,int s):构造深度优先搜索对象，使用深度优先搜索找出G图中s顶点的所有相通顶点 |
| 成员方法 | 1.private void dfs(Graph G, int v)：使用深度优先搜索找出G图中v顶点的所有相通顶点 2.public boolean marked(int w):判断w顶点与s顶点是否相通 3.public int count():获取与顶点s相通的所有顶点的总数 |
| 成员变量 | 1.private boolean[] marked: 索引代表顶点，值表示当前顶点是否已经被搜索 2.private int count：记录有多少个顶点与s顶点相通 |
代码实现
package com.vmware;/*** @apiNote 深度优先搜索实现*/
public class DepthFirstSearch {//索引代表顶点，value表示当前顶点是否已经被搜索private boolean[] marked;//记录有多少顶点与s顶点相通private int count;//构建深度优先搜索对象，使用深度优先搜索找出图中s顶点的所有相通节点public DepthFirstSearch(Graph graph, int s) {marked = new boolean[graph.V()];//创建一个和图的顶点数一样大小的布尔数组dfs(graph, s); //搜索G图中与顶点s相通的所有顶点}//使用深度优先搜索找出G图中v顶点的所有想通节点private void dfs(Graph graph, int v) {//将当前顶点标记为已搜索marked[v] = true;//遍历v顶点的临接表，得到每一个顶点wfor (Integer w : graph.adj(v)) {//如果顶点没有被搜索过，则递归搜索与顶点相通的其他顶点if (!marked[w]) {count++;dfs(graph, w);}}}//判断w顶点与s顶点是否相通public boolean marked(int w) {return marked[w];}//获取与顶点s相通的所有顶点的总数public int count() {return count;}
}
广度优先搜索
所谓的深度优先搜索，指的是在搜索时，如果遇到一个结点既有子结点，又有兄弟结点，那么先找兄弟结点，然后找子结点
API设计
| 类名 | BreadthFirstSearch |
|---|---|
| 构造方法 | BreadthFirstSearch(Graph G,int s)：构造广度优先搜索对象，使用广度优先搜索找出G图中s顶点的所有相邻顶点 |
| 成员方法 | 1.private void bfs(Graph G, int v)：使用广度优先搜索找出G图中v顶点的所有相邻顶点 2.public boolean marked(int w):判断w顶点与s顶点是否相通 3.public int count():获取与顶点s相通的所有顶点的总数 |
| 成员变量 | 1.private boolean[] marked: 索引代表顶点，值表示当前顶点是否已经被搜索 2.private int count：记录有多少个顶点与s顶点相通 3.private Queue waitSearch: 用来存储待搜索邻接表的点 |
代码实现
package com.vmware;import java.util.ArrayDeque;
import java.util.Queue;/*** @apiNote 图的深度优先搜索实现*/
public class BreadthFirstSearch {private boolean[] marked;//索引代表顶点，值表示当前顶点是否被搜索private int count; //记录有多少个顶点与s顶点相通private Queue<Integer> waitSearch;//用来存储待搜索临接表的点//构造广度优先搜索对象，使用广度优先搜索找出G图中s顶点的所有相邻顶点public BreadthFirstSearch(Graph graph, int s) {//创建一个和图的顶点数一样大小的布尔数组marked = new boolean[graph.V()];//初始化待搜索的顶点的队列waitSearch = new ArrayDeque<>();//搜索图中与顶点s相通的所有顶点bfs(graph, s);}//使用广度优先搜索找出图中v顶点的所有相邻顶点private void bfs(Graph graph, int v) {//标记顶点v为已搜索marked[v] = true;//添加待搜索顶点到队列中，等待搜索ta的邻接表waitSearch.add(v);while (!waitSearch.isEmpty()) {//从队列中弹出待搜索元素Integer s = waitSearch.poll();//获取顶点的临节点队列进行遍历for (Integer w : graph.adj(s)) {//如果临节点是没有被访问过的，则对其进行访问添加到队列，并标记if (!marked[w]) {marked[w] = true;waitSearch.add(w);count++;}}}}//判断w顶点与s顶点是否想相通public boolean marked(int w) {return marked[w];}//获取与顶点s相通的所有顶点总数public int count() {return count;}
}
