1. 前言
为什么要专门去搞一下这个背包问题呢 ? 因为作者已经在两场面试中吃了这个亏, 尤其是在面深信服的测开岗的时候, 一面的难度适中, 加上面试官也没为难我, 侥幸让我过了. (以下是一面问题)
二面的时候, 主要问了项目和手撕算法. 当时项目个人觉得面的还不错, 因为本人是双非二本的学生, 面试官对我的要求也不会太高. 面完项目后, 就到了手撕算法环节, 我当时觉得: 测开岗的手撕算法应该不会太难, 搞定牛客 Top101, 剑指 offer, 应该没什么大的问题.. 结果面试官上来就是一道经典 01 背包, 虽然现在我能做的很好, 但是当时只写过这道题的代码, 而且有段时间了, 也并没有好好地去理解这个思想, 所以连伪代码都没有写出来, 然后第二道也是动态规划相关的, 我只提供暴了力做法, 写出这代码我自己都笑了, 最终的结果可想而知了.....
俗话说: "在哪里跌倒, 在哪里爬起~" , 接下来好好研究一下背包系列的问题, 该如何解决.
---- 这篇文章主要讲 01 背包，下篇文章再讲 完全背包和二维费用的背包问题 ----
2. 什么是 01 背包， 什么是完全背包
此处只讲解 01 背包、完全背包、以及二维费用的背包问题， 毕竟是面试， 搞定这些基本上差不多了。
【定义】首先什么是背包问题 ?
背包问题的本质： 解决有限制条件下的 " 组合 " 问题！
什么是 01 背包， 什么是完全背包， 以下面这幅图为例：
问题： 在不超过背包体积的前提下，从这一堆物品中任意挑选某些物品，使得背包中的价值最大.
【01 背包】：每种物品只有一个，不能多次挑选.
01 背包中又可以分为必须装满和不用装满的两种情况.
【完全背包】：每种物品有无限个，可以多次挑选.
完全背包中又可以分为必须装满和不用装满的两种情况.
3. 01 背包
3.1 【模板】01背包
【题目链接】【模板】01背包_牛客题霸_牛客网你有一个背包，最多能容纳的体积是V。 现在有n个物品，第i个物品的体积为 ,。题目来自【牛客题霸】
https://www.nowcoder.com/practice/fd55637d3f24484e96dad9e992d3f62e?tpId=230&&tqId=38964&sourceUrl=https%3A%2F%2Fwww.nowcoder.com%2Fexam%2Foj
【题目描述】
你有一个背包，最多能容纳的体积是V。
现在有 n 个物品，第 i 个物品的体积为 vi,价值为 wi（1）求这个背包至多能装多大价值的物品？
（2）若背包恰好装满，求至多能装多大价值的物品？第一问：【算法原理】
再做动态规划系列问题的时候，无非就是这几大步骤：
① 状态定义
② 推导状态转移方程
③ 初始化 dp 表
④ 填表顺序
⑤ 返回值
1. 状态定义
背包问题本质上还是一个线性 dp, 所以状态的定义根据线性 dp 的经验:
状态定义: dp[i] 表示从前 i 个物品中挑选, 所有选法, 能挑选出来的最大价值 (试错)
但是这样定义状态之后, 发现推不出来, 因为不知道体积, 所以需要定义一个二维的 dp.
状态定义:dp[i][j]表示从前 i 个物品中挑选,总体积不超过 j,所有选法中,能挑选出来的最大价值2. 推导状态转移方程
根据最后一个位置的状况, 分情况讨论:
所以最终的状态转移方程就是取两种情况的最大值即可:
// 满足 j >= v[i]
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]); 当然这个状态转移方程可能还需要处理下标映射关系, 后续注意对应的代码即可.
3. 初始化 dp 表
为了方便代码进行 dp 的一个过程, 我们都会根据情况给 dp 表多加一行, 一列.
由于使用到前面的列的时候, 会进行判断, 所以初始化的时候, 可以不用初始化列, 只需要初始化行.
当只有 0 个商品的时候，想要体积不超过 0，1，2，3..... 最大价值肯定都是 0 了.
4. 填表顺序
从状态转移方程来分析，dp[i] 会使用到上一行，以及前面的列， 所以填表顺序从上往下填即可.
5. 返回值
从状态表示：从前 i 个物品中挑选，总体积不超过 j 的最大价值， 再结合题目要求，
得出最终的状态：从前 n 个物品中挑选，总体积不超过 V 的最大价值，所以返回 dp[n][V] 即可.
第一问：【编写关键代码】
/*** (1)求这个背包至多能装多大价值的物品？* @param v 每个商品所对应的体积* @param w 每个商品所对应的价值* @param V 背包体积* @param n 商品数量* @return*/
public static int getMaxVlaue(int[] v, int[] w, int V, int n) {int[][] dp = new int[n + 1][V + 1];// 从前 i 个商品中挑选,总体积不超过 j,最大价值是多少for(int i = 1; i <= n; ++i) {for(int j = 1; j <= V; ++j) {// 不挑选 i 商品dp[i][j] = dp[i - 1][j];// 挑选 i 商品时,要考虑是否能装得下if(j - v[i] >= 0) {dp[i][j] = Math.max(dp[i][j],dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]);}}}return dp[n][V];
}此处先理解最基础的代码，等看完第二问， 再统一做空间优化.
第二问：【算法原理】
1. 状态定义
有了前面的经验，接下来就直接定义状态了.
状态定义:dp[i][j]表示从前 i 个物品中挑选,总体积正好为 j,所有选法中,能挑选出来的最大价值2. 推导状态转移方程
此处的状态转移方程和第一问几乎一模一样， 只需要处理一些细节：
【细节】
dp[i - 1][j] 可能不存在，因为可能会有这样的情况，我怎么挑选商品，都不可能正好凑成体积为 j，所以可以使用 dp[i][j] = -1 来处理这种情况. （为什么不使用 0 来处理，因为我们在初始化 dp 表的时候，多加了一行，一列，而里面就有 0 值， 这样容易误解.）
3. 初始化 dp 表
此处初始化 dp 表的时候，就不能给第一行设为 0 了，而是设为 -1.
因为没有商品的时候，不可能凑出体积为 1，2，3 的情况.
4. 填表顺序
填表顺序依旧从上往下即可.
5. 返回值
dp[n][V]
第二问：【编写关键代码】
/*** (2)若背包恰好装满，求至多能装多大价值的物品？* @param v 每个商品所对应的体积* @param w 每个商品所对应的价值* @param V 背包体积* @param n 商品数量* @return*/
public static int getMaxVlaue(int[] v, int[] w, int V, int n) {int[][] dp = new int[n + 1][V + 1];// 状态定义：从前 i 个商品中挑选,体积恰好等于 j,最大价值为多少// 体积不能正好等于 j 的,统统初始化为 -1for(int j = 1; j <= V; ++j) dp[0][j] = -1;for(int i = 1; i <= n; ++i) {for(int j = 1; j <= V; ++j) {// 不选 idp[i][j] = dp[i - 1][j];// 选 i，细节处理if(j - v[i] >= 0 && dp[i - 1][j - v[i]] != -1) {dp[i][j] = Math.max(dp[i][j],dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]);}}}return dp[n][V];
}【空间优化】
- 利用滚动数组做空间上的优化
- 直接在原始代码上稍加修改即可
从状态转移方程：dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v[i] + w[i]]) 来看，每一个 dp[i][j] 都只会用到上一行的当前列和上一行的前面某列的值， 所以上一行之前的行都是多余的空间，于是可以使用滚动数组进行优化.
原始的滚动数组是创建两个数组，每次保存上一行的所有值，当前行依赖上一行的值，填完一行，数组就往下滚一行：
但是没必要搞两个数组，我们仅需从后往前填表，就能完成滚动数组的效果，因为从后往前填表， 它前面的状态就是上一行的状态。
第一问：空间优化后的代码
public static int getMaxVlaue(int[] v, int[] w, int V, int n) {int[] dp = new int[V + 1];// 状态定义：从前 i 个商品中挑选,总体积不超过 j,最大价值是多少for(int i = 1; i <= n; ++i) {// 从后往前填表for(int j = V; j >= v[i]; --j) {// 省去条件判断，直接放在循环里面dp[j] = Math.max(dp[j],dp[j - v[i]] + w[i]);}}return dp[V];
}第二问：空间优化后的代码
public static int getMaxVlaue(int[] v, int[] w, int V, int n) {int[] dp = new int[V + 1];// 从前 i 个商品中挑选,体积恰好等于 j,最大价值为多少for(int j = 1; j <= V; ++j) dp[j] = -1; // 初始化for(int i = 1; i <= n; ++i) {for(int j = V; j >= v[i]; --j) {if(dp[j - v[i]] != -1) {dp[j] = Math.max(dp[j],dp[j - v[i]] + w[i]);}}}// 可能不存在正好装满的情况return dp[V] == -1 ? 0 : dp[V];
}第二问的空间，我在 leetcode 题解里面也看到有不需要做 if 条件判断的，他们是怎么做到的呢 ？
是这样子的：
当背包问题的问法，涉及到最大，最小的结果，而且务必要恰好装满背包时，这个时候可以根据实际情况给第一行所有值初始化为 0x3f3f3f3f。
- 当求最大价值的时候，就初始化为 -0x3f3f3f3f，因为这个值足够小，那么在求 max 的时候，永远不会取到
- 当求最小价值的时候，就初始化为 0x3f3f3f3f，因为这个值足够大，那么在求 min 的时候，也永远不会取到
这样处理完之后，返回值也是需要处理的，具体代码如图下：
public static int getMaxVlaue(int[] v, int[] w, int V, int n) {int[] dp = new int[V + 1];// 从前 i 个商品中挑选,体积恰好等于 j,最大价值为多少for(int j = 1; j <= V; ++j) dp[j] = -0x3f3f3f3f; // 初始化for(int i = 1; i <= n; ++i) {for(int j = V; j >= v[i]; --j) {dp[j] = Math.max(dp[j],dp[j - v[i]] + w[i]);}}// 可能不存在正好装满的情况return dp[V] < 0 ? 0 : dp[V];
}有了这两道 01 背包的基础之后，后面的 01 背包相关的题目，可以先自己尝试去做，在看答案之前，自己能做出来，记忆还是非常深刻的.
3.2 分割等和子集
【题目链接】
力扣（LeetCode）官网 - 全球极客挚爱的技术成长平台备战技术面试？力扣提供海量技术面试资源，帮助你高效提升编程技能，轻松拿下世界 IT 名企 Dream Offer。https://leetcode.cn/problems/partition-equal-subset-sum/【题目描述】
给你一个只包含正整数的非空数组 nums 。请你判断
是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。示例 1：
输入：nums = [1,5,11,5] 输出：true 解释：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。
示例 2：
输入：nums = [1,2,3,5] 输出：false 解释：数组不能分割成两个元素和相等的子集。
【算法原理】
这道题如果上来就将数组拆分成两部分，你会发现会很难做，所以再做这道题之前，我们可以把题目意思转化一下：
从上图来看，我们可以发现，两堆数据的总和始终都等于 sum / 2
于是这个问题就转换为了：从 n 个数中挑选一些数，让这些数的和等于 sum / 2.
这样来看，这就是一个 01 背包问题.
1. 状态定义
状态定义：dp[i][j]表示从前 i 个数中选，能否凑成 j 这个数 [true or false]2. 推导状态转移方程
根据最后一个位置的状况, 分情况讨论:
题目要求找到即可，所以最终的状态转移方程为：
dp[i][j] = dp[i - 1][j] || dp[i - 1][j - nums[i]]
3. 编写代码
有了状态转移方程，后续的初始化，填表顺序，以及返回值都很容易分析出来了，可以先自己分析再看代码.
初始化过程模棱两可的时候务必要要画图去理解！
public boolean canPartition(int[] nums) {int n = nums.length;int sum = 0;// 计算总和for(int i = 0; i < n; ++i) sum += nums[i];// 总和为奇数，就不可能分为相等的两堆if(sum % 2 != 0) return false;int aim = sum / 2;// 状态定义：从前 i 个数中挑选, 能否凑成 j 这个数boolean[][] dp = new boolean[n + 1][aim + 1];// 初始化for(int i = 0; i <= n; ++i) dp[i][0] = true;for(int i = 1; i <= n; ++i) {for(int j = 1; j <= aim; ++j) {// 第 i 数个不选dp[i][j] = dp[i - 1][j];// 第 i 数选if(j - nums[i - 1] >= 0) {dp[i][j] = dp[i][j] || dp[i - 1][j - nums[i - 1]];}}}return dp[n][aim];
}4. 空间优化
public boolean canPartition(int[] nums) {int n = nums.length;int sum = 0;// 计算总和for(int i = 0; i < n; ++i) sum += nums[i];// 总和为奇数，就不可能分为相等的两堆if(sum % 2 != 0) return false;int aim = sum / 2;// 状态定义：从前 i 个数中挑选, 能否凑成 j 这个数boolean[] dp = new boolean[aim + 1];// 初始化dp[0] = true;for(int i = 1; i <= n; ++i) {for(int j = aim; j >= nums[i - 1]; --j) {dp[j] = dp[j] || dp[j - nums[i - 1]];}}return dp[aim];
}3.3 分割等和子集
【题目链接】
力扣（LeetCode）官网 - 全球极客挚爱的技术成长平台备战技术面试？力扣提供海量技术面试资源，帮助你高效提升编程技能，轻松拿下世界 IT 名企 Dream Offer。https://leetcode.cn/problems/target-sum/【题目描述】
给你一个非负整数数组 nums 和一个整数 target 。向数组中的每个整数前添加 '+' 或 '-' ，然后串联
起所有整数，可以构造一个表达式 ：例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 '+' ，
在 1 之前添加 '-' ，然后串联起来得到表达式 "+2-1" 。返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同表达式的数目。示例 1：
输入：nums = [1,1,1,1,1], target = 3 输出：5 解释：一共有 5 种方法让最终目标和为 3 。 -1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3 +1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3 +1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3 +1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3 +1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3
示例 2：
输入：nums = [1], target = 1 输出：1
【算法原理】
这道题如果上来就用动态规划，状态定义是非常难定义的，状态转移方程更难推导，所以尝试将问题转换一下.
当我们给数组中的数据加上正负号的时候，就被分为了两堆数，一类正数，一类负数，假设所有正数的和为 a， 所有负数的和的绝对值为 b，原始数组和为 sum，此时能得到两个公式：
- a + b = sum
- a - b = target
进而求出 a = (sum + target) / 2
所以这道题就转换为了：从 n 个数中挑选，和正好等于 target，一共有多少种选法.
这不就是 01 背包问题吗~
1. 状态定义
状态定义: 从前 i 个数中选,总和正好等于 j,一共有多少种选法2.推导状态转移方程
注意事项：不选 i 的情况，一定不能写成 dp[i - 1][j] + 1，因为此处求得是选法有多少种，所以只需要将 i 位置拼接在末尾即可，不是多的选法，可以结合状态定义来理解.
最终的状态转移方程：
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]]
3. 编写代码
初始化过程模棱两可的时候务必要要画图去理解！
public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {int n = nums.length;int sum = 0;// 计算原始数组总和for(int i = 0; i < n; ++i) sum += nums[i];// 因为公式为 (sum + target) / 2, 所以此处一定要能够整除 2int a = sum + target;if(a % 2 != 0 || a < 0) return 0;int aim = (sum + target) / 2;int[][] dp = new int[n + 1][aim + 1];// 状态定义: 从前 i 个数中选,总和正好等于 j,一共有多少种选法dp[0][0] = 1; // 初始化for(int i = 1; i <= n; ++i) {for(int j = 0; j <= aim; ++j) {dp[i][j] = dp[i - 1][j]; // 不选 iif(j - nums[i - 1] >= 0) {dp[i][j] += dp[i - 1][j - nums[i - 1]]; // 选 i}}}return dp[n][aim];
}4. 空间优化
public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {int n = nums.length;int sum = 0;// 计算原始数组总和for(int i = 0; i < n; ++i) sum += nums[i];// 因为公式为 (sum + target) / 2, 所以此处一定要能够整除 2int a = sum + target;if(a % 2 != 0 || a < 0) return 0;int aim = (sum + target) / 2;int[] dp = new int[aim + 1];// 状态定义: 从前 i 个数中选,总和正好等于 j,一共有多少种选法dp[0] = 1; // 初始化for(int i = 1; i <= n; ++i) {for(int j = aim; j >= nums[i - 1]; --j) {dp[j] += dp[j - nums[i - 1]];}}return dp[aim];
}3.4 最后一块石头的重量
【题目链接】
力扣（LeetCode）官网 - 全球极客挚爱的技术成长平台备战技术面试？力扣提供海量技术面试资源，帮助你高效提升编程技能，轻松拿下世界 IT 名企 Dream Offer。https://leetcode.cn/problems/last-stone-weight-ii/【题目描述】
有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y
那么粉碎的可能结果如下：如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎;
如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。最后，最多只会剩下一块石头。返回此石头最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。示例 1：
输入：stones = [2,7,4,1,8,1] 输出：1 解释： 组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]， 组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]， 组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]， 组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。
示例 2：
输入：stones = [31,26,33,21,40] 输出：5
【算法原理】
这道题，如果上来直接用动态规划来写，状态是很难定义的， 所以也是需要尝试去转换一下问题
假如有 5 个石头，重量分别为 a，b，c，d，e， 碎石头的过程如下：
这样一写出来，就和目标和有点像了，但是这题求的是最小重量，但是大致可以往思考目标和的那个方向去靠：
如果这样理解，那么我们可以把正数这一边的石子的加和设为 a，负数这一边的石子的加和设为 b，并且 a > b（如果 不满足就调换一下），所以题目的要求就转换为了求 a - b 的最小值，那么 a - b 的最小值就是当 a 最接近 sum / 2 的时候，于是题目就变成了：
"从 n 个石子里选一些石子， 使得石子的重量和尽可接近 sum / 2 "， 求出 a 的值，那么 b 的值也可也得出来，那么最终的石头的重量，就拿 a，b 做差即可.
1. 状态定义
状态定义：从前 i 个石头中挑选，重量之和不超过 j，此时重量的最大和2. 推导状态转移方程
3. 编写代码
初始化过程模棱两可的时候务必要要画图去理解！
public int lastStoneWeightII(int[] stones) {int n = stones.length;int sum = 0;for(int i = 0; i < n; ++i) sum += stones[i];int aim = sum / 2;int[][] dp = new int[n + 1][aim + 1];// 状态定义：从前 i 个石头中挑选，重量之和不超过 j，此时重量的最大和for(int i = 1; i <= n; i++) {for(int j = 0; j <= aim; ++j) {dp[i][j] = dp[i - 1][j]; // 不选 iif(j >= stones[i - 1]) {// 选 idp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - 1][j - stones[i - 1]] + stones[i - 1]);}}}// 求出 a 的值后, b 就等于 sum - a, 那么最后的重量就是 sum - 2 * dp[n][aim]return (int)Math.abs(sum - 2 * dp[n][aim]);
}4. 空间优化
public int lastStoneWeightII(int[] stones) {int n = stones.length;int sum = 0;for(int i = 0; i < n; ++i) sum += stones[i];int aim = sum / 2;int[] dp = new int[aim + 1];// 状态定义：从前 i 个石头中挑选，重量之和不超过 j，此时重量的最大和for(int i = 1; i <= n; i++) {for(int j = aim; j >= stones[i - 1]; --j) {dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - stones[i - 1]] + stones[i - 1]);}}// 求出 a 的值后, b 就等于 sum - a, 那么最后的重量就是 sum - 2 * dp[aim]return (int)Math.abs(sum - 2 * dp[aim]);
}对于本科生，01 背包类型彻底理解这几道，基本上能解决面试中大部分问题了，虽然感觉上，中大公司今年的趋势是面项目和手撕算法比较多，但是金九银十已经过去一个月了，算法也不是一朝一夕就能提升来的，所以重心还是在八股和项目，最后祝大家都能在秋招拿到自己满意的 offer~
