大厂秋招真题【BFS+DP】华为20230921秋招T3-PCB印刷电路板布线（留学生专场）

华为20230921秋招T3-PCB印刷电路板布线（留学生专场）

题目描述与示例

题目描述

在PCB印刷电路板设计中，器件之间的连线，要避免线路的阻抗值增大，而且器件之间还有别的器任和别的干扰源，在布线时我们希望受到的干扰尽量小。

现将电路板简化成一个M × N的矩阵，每个位置（单元格）的值表示其源干扰度。

如果单元格的值为0，表示此位置没有干扰源，如果单元格的值为非0，则表示此位置是干扰源，其值为源干扰度。连线经过干扰源或干扰源附近会增加连线的总干扰度。

位置A[x,y]的干扰源的源干扰广为d (d>0)，则连线的干扰度计算如下：

1、若连线经过位置A[x,y]，则其总干扰度会增加加

2、若连线经过离位置A[x,y]距离小于d的位置时，设其距离为k，则总干扰度会增加(d-k)

3、若连线经过离位置A[x,y]距离大于或等于d的位置时，总干扰都不会增加；

注：位置[x1,y1]和位置[x2,y2]之间距离的定义为：|x1-x2|+|y1-y2|。

如下3x3矩阵，位置[1,1]的源干扰度是2，连线的位置序列为：[0,0]->[0,1]->[0,2]->[1,2]->[2,2]。

其中[0,1]和[1,0]到干扰源的距离为1，会叠加1的干扰度；其他位置到[1,1]的距离均大于等于2，所以不会叠加干扰度。因此这条连线的总干扰度为2。

现在我们需要将左上角的器件到右下角的器件进行连线，两个器件的位置分别是左上角的[0,0]和右下角的[M-1,N-1]。由于我们希望连线尽量地短，从位置[0,0]到[M-1,N-1]的连线途中，我们规定连线只能向下或向右。

请根据输入(M × N的矩阵)，计算出连线的最小干扰度。

输入描述

第一行是两个整数M和N(M和N最大值为1000)，表示行数和列数；

接着是M行的数据，每一包含N个整数，代表每个位置的源干扰度，每个源干扰度小于50。

输出描述

左上角[0,0]到右下角[M-1,N-1]连线的最小总干扰度。

示例一

输入

3 3
0 0 0
0 2 0
0 0 0

输出

2

说明

其中一条可以使干扰度最小的路径为：[0,0]->[0,1]->[0,2]->[1,2]->[2,2]，其干扰度为2。

示例二

输入

5 5
0 0 0 0 0
0 0 2 0 0
0 2 0 2 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

输出

1

说明

先从[0,0]往下走到最下面[4,0]，再往石走到右下角[4,4]，途径[2,0]时叠加一个干扰度。

示例三

输入

5 5
0 0 0 0 0
0 0 2 0 0
0 2 0 2 0
0 0 2 0 0
0 0 0 0 0

输出

2

时空限制

时间限制： C/C++ 2000MS，其他语言4000MS

内存限制： C/C++ 256MB，其他语言512MB

解题思路

本题属于综合性较强的题目，结合了BFS和DP两个知识点。

首先我们需要根据原矩阵，构建出每一个位置干扰值叠加的结果，得到一个新的矩阵grid_new。这里显然就是一个基于BFS计算层数的问题。

在这里插入图片描述

在得到新的矩阵grid_new之后，问题就转变为，对grid_new构建一条从左上到右下的路径，每次只能够向右或向下移动，路径经过的点的总和需要最小。这是一个经典的路径DP问题，和LeetCode64、最小路径和完全一致。

代码

Python

# 题目：【DP】华为2023秋招-PCB印刷电路板布线
# 作者：闭着眼睛学数理化
# 算法：DP/BFS
# 代码有看不懂的地方请直接在群上提问from collections import dequeDIRECTIONS = [(0, 1), (1, 0), (0, -1), (-1, 0)]# 对于grid中每一个干扰源，以干扰源作为起点进行BFS，更新grid_new
def BFS_update_grid_new(val, grid_new, i, j, m, n):check_list = [[0] * n for _ in range(m)]check_list[i][j] = 1grid_new[i][j] += valq = deque()q.append((i, j))# 注意这里退出循环的条件和val相关while val > 1:val -= 1qSize = len(q)for _ in range(qSize):cur_x, cur_y = q.popleft()for dx, dy in DIRECTIONS:nxt_x, nxt_y = cur_x+dx, cur_y+dyif 0 <= nxt_x < m and 0 <= nxt_y < n and check_list[nxt_x][nxt_y] == 0:q.append((nxt_x, nxt_y))grid_new[nxt_x][nxt_y] += valcheck_list[nxt_x][nxt_y] = 1# 用于解决最小路径和问题的函数
def find_min_sum_path(grid_new, m, n):# 构建大小为m*n的dp数组，dp[i][j]表示# 到达grid_new中的点(i,j)，所需的最小路径和dp = [[0] * (n) for _ in range(m)]# 初始化(0,0)位置dp[0][0] = grid_new[0][0]# 初始化dp数组第0行，只能从左边向右转移得到for j in range(1, n):dp[0][j] += dp[0][j-1] + grid_new[0][j]# 初始化dp数组第0列，只能从上边向下转移得到for i in range(1, m):dp[i][0] += dp[i-1][0] + grid_new[i][0]# 遍历剩余所有点# 点(i,j)的状态，只能从点(i-1,j)向下或者从点(i,j-1)向右转移得到# 故动态转移方程为dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid_new[i][j]for i in range(1, m):for j in range(1, n):dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid_new[i][j]return dp[-1][-1]# 输入行数m，列数n
m, n = map(int, input().split())
# 构建原干扰值矩阵
grid = list()
for _ in range(m):grid.append(list(map(int, input().split())))# 初始化干扰值叠加后的新矩阵gird_new
grid_new = [[0] * n for _ in range(m)]for i in range(m):for j in range(n):# 对于每一个干扰源，使用BFS更新grid_newif grid[i][j] != 0:val = grid[i][j]BFS_update_grid_new(val, grid_new, i, j, m, n)# 调用函数find_min_sum_path，输出答案
print(find_min_sum_path(grid_new, m, n))

Java

import java.util.ArrayDeque;
import java.util.Deque;
import java.util.Scanner;public class Main {private static final int[][] DIRECTIONS = {{0, 1}, {1, 0}, {0, -1}, {-1, 0}};// Function to perform BFS and update gridNewprivate static void BFSUpdateGridNew(int val, int[][] gridNew, int i, int j, int m, int n) {int[][] checkList = new int[m][n];checkList[i][j] = 1;gridNew[i][j] += val;Deque<int[]> queue = new ArrayDeque<>();queue.add(new int[]{i, j});while (val > 1) {val--;int qSize = queue.size();for (int k = 0; k < qSize; k++) {int[] current = queue.poll();int curX = current[0];int curY = current[1];for (int[] dir : DIRECTIONS) {int nextX = curX + dir[0];int nextY = curY + dir[1];if (nextX >= 0 && nextX < m && nextY >= 0 && nextY < n && checkList[nextX][nextY] == 0) {queue.add(new int[]{nextX, nextY});gridNew[nextX][nextY] += val;checkList[nextX][nextY] = 1;}}}}}// Function to find the minimum sum pathprivate static int findMinSumPath(int[][] gridNew, int m, int n) {int[][] dp = new int[m][n];dp[0][0] = gridNew[0][0];for (int i = 1; i < m; i++) {dp[i][0] = dp[i - 1][0] + gridNew[i][0];}for (int j = 1; j < n; j++) {dp[0][j] = dp[0][j - 1] + gridNew[0][j];}for (int i = 1; i < m; i++) {for (int j = 1; j < n; j++) {dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + gridNew[i][j];}}return dp[m - 1][n - 1];}public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int m = sc.nextInt();int n = sc.nextInt();int[][] grid = new int[m][n];for (int i = 0; i < m; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {grid[i][j] = sc.nextInt();}}int[][] gridNew = new int[m][n];for (int i = 0; i < m; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {if (grid[i][j] != 0) {int val = grid[i][j];BFSUpdateGridNew(val, gridNew, i, j, m, n);}}}System.out.println(findMinSumPath(gridNew, m, n));}
}

C++

#include <iostream>
#include <vector>
#include <deque>
using namespace std;const vector<pair<int, int>> DIRECTIONS = {{0, 1}, {1, 0}, {0, -1}, {-1, 0}};// Function to perform BFS and update grid_new
void BFSUpdateGridNew(int val, vector<vector<int>>& gridNew, int i, int j, int m, int n) {vector<vector<int>> checkList(m, vector<int>(n, 0));checkList[i][j] = 1;gridNew[i][j] += val;deque<pair<int, int>> q;q.push_back({i, j});while (val > 1) {val--;int qSize = q.size();for (int k = 0; k < qSize; k++) {int curX = q.front().first;int curY = q.front().second;q.pop_front();for (const auto& dir : DIRECTIONS) {int nextX = curX + dir.first;int nextY = curY + dir.second;if (nextX >= 0 && nextX < m && nextY >= 0 && nextY < n && checkList[nextX][nextY] == 0) {q.push_back({nextX, nextY});gridNew[nextX][nextY] += val;checkList[nextX][nextY] = 1;}}}}
}// Function to find the minimum sum path
int FindMinSumPath(const vector<vector<int>>& gridNew, int m, int n) {vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));dp[0][0] = gridNew[0][0];for (int i = 1; i < m; i++) {dp[i][0] = dp[i - 1][0] + gridNew[i][0];}for (int j = 1; j < n; j++) {dp[0][j] = dp[0][j - 1] + gridNew[0][j];}for (int i = 1; i < m; i++) {for (int j = 1; j < n; j++) {dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + gridNew[i][j];}}return dp[m - 1][n - 1];
}int main() {int m, n;cin >> m >> n;vector<vector<int>> grid(m, vector<int>(n));for (int i = 0; i < m; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {cin >> grid[i][j];}}vector<vector<int>> gridNew(m, vector<int>(n, 0));for (int i = 0; i < m; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {if (grid[i][j] != 0) {int val = grid[i][j];BFSUpdateGridNew(val, gridNew, i, j, m, n);}}}cout << FindMinSumPath(gridNew, m, n) << endl;return 0;
}

时空复杂度

时间复杂度：O(MNk)。其中k为干扰源的数目，一共需要进行k次BFS，每次BFS的时间复杂度为O(MN)。另外，DP过程的时间复杂度为O(MN)。

空间复杂度：O(MN)。grid_new、check_list、dp等二维矩阵所占空间均为O(MN)。

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