作者在前面的文章中介绍了量子粒子群算法，量子粒子群算法不但继承粒子群算法的优点，还有它自身计算模型更加简洁，控制参数更少等更加突出的优势，但依然存在着一定的局限性。
例如也会存在着早熟收敛的问题，随着迭代次数的增加，到达了一定的值之后，单个粒子的最优位置会越来越靠近种群的最优位置，这使得种群多样性下降，导致局部寻优能力 变差，该现象在多峰优化问题过程中尤为明显，无法做到精准收敛。为解决以上缺陷，现从三个角度对算法进行优化。

00 文章目录

1 量子粒子群算法
2 量子粒子群算法改进
3 代码目录
4 算法性能分析
5 源码获取
6 总结

01 量子粒子群优化算法

量子粒子群优化算法取消了粒子的移动方向属性，相比较于粒子群算法，粒子位置的更新跟该粒子之前的运动没有任何关系，是量子编码与量子门计算进行更新，这样就增加了粒子位置的随机性，避免发生局部过早收敛。

1.1 量子粒子群优化算法原理

量子粒子群算法控制参数少，只有一个，且收敛度快，具有良好的性能。对于标准粒子群算法，粒子的位置和速度共同决定了粒子的运动轨迹，在牛顿力学中粒子沿着确定的轨迹运 动。在量子力学中，轨迹项是没有意义的，因为粒子的位置和速度根据测不准原理无法同时确定。因此 QPSO 中粒子的运动行为与 PSO大相径庭。在量子粒子群算法中，粒子是由薛定谔方程描述 ψ( x, t)，而不是标准粒子群算法的位置和速度。为保证算法的收敛需满足下式，每一粒子要收敛于各自的 p 点，对任意粒子i有p (pi1 , pi2 ,…, pid )，pid 是第i个粒子在第d维的值，也称为局部吸引因子，其中φij(t)为0和1之间的随机函数。

QPSO 算法引入的新名词 mb来达到优化粒子群全局最优的搜索过程，mb表示pbest的平均值，即平均粒子历史最优位置，公式为:

其中，Ms是粒子群的个数；j 为粒子的第 j 维其取值范围为j∈［1，d］。可得全局极值的平均值 La 的计算公式为:

进而可得到粒子的进化方程为：

u和k是在［0，1］范围产生的均匀随机数，其中 α 是收缩-扩张因子，是量子粒子群唯一的参数，调节它的值能控制算法的收敛速度，但由于当α 固定时,算法对粒子群规模和最大迭代次数都是敏感的，如果采用时变的α，则算法性能将获得提高，故对于收缩-扩张因子的选择对于性能是有影响的。综上可以看出，量子粒子群算法具有调节参数少、收敛速度快的优点。

1.2 收缩-扩张因子

若采用固定的收缩-扩张因子,则算法的鲁棒性会降低. 通常采用自适应变化的收缩-扩张因子,可以 在迭代后期改善算法局部搜索的精度，本文选取线性递减策略自适应的修改收缩-扩张因子：

其中: Kmax为最大迭代次数; α0, α1为预设值,一般取 α0 = 0.5, α1 = 1。
当然，收缩-扩张因子还有许多可选变式，这篇作为量子粒子群的引入文章先介绍其中一种，后续会介绍其它变式。
收缩-扩张因子随着迭代次数的变化关系如图：

02 量子粒子群算法改进

2.1 收缩-扩张因子(contraction-expansion，CE)改进

收缩-扩张因子α是唯一可变参数，α的取值越小，这有利于局部搜索，但收敛速度会受到影响；α的取值越大，全局的收敛速度快，但在很大程度上将影响着模型的精度。在算法的初期，需要一个比较大的搜索速度快速的接近全局极值，因此此时α的取值需要大一点更好，而在算法的后期，需要对局部搜索能力进行适当加强，因此搜索速度需要降下来，可以适当的取较小的α值。
传统的收缩-扩张因子更新公式是一条线性递减的直线，其对于大部分问题能得到较好控制效果，算法性能较为稳定，但系数调控范围与算法性能并无明显联系，系数选择带有盲目性，尤其是求解类似 Rastrigin 多峰优化问题时，算法收敛精度不高。因此根据 PSO 算法中参数动态变化的思想，并针对实际的问题，采用一种非线性变化的自适应的方法来控制该参数，将收缩-扩张因子α采用新的动态减小的方式，改善对模型参数的优化效果，具体更新方式如下：

αinitial表示收缩-扩张因子的初始值，根据经验一般取值αinital=1，而𝑡𝑚𝑎𝑥表示最大的迭代数，t 表示当前迭代的数。非线性递减策略需根据初始值initial 来选取恰当n ，根据实际问题，采用凹凸性合理的曲线可获得更好收敛效果，从而避免应用中选取的随机性和盲目性。
改进后的收缩-扩张因子变化图如下：

因此，当 αinitial和tmax确定以后，改变 n 的值就可以改变 CE系数曲线的凸凹特征，从而为研究采用不同凸凹性非线性下降CE系数对QPSO优化性能的影响提供了有利的条件。

2.2 融合动态权重因子和正余弦思想

在局部吸引因子pid（t）更新方式中，引入动态权重因子 ω 和正余弦算法（SCA）的思想，提升算法收敛速度和精度。在搜索初期权重因子较大，有助于提升全局搜索能力；在搜索后期，权重因子较小，有助于增强局部的开发能力。基于动态权重因子ω和正余弦算法（SCA）改进后的局部吸引因子pid（t）更新公式如下

其中r1为0-2pi的随机数，r2为0-2的随机数，动态权重因子最大值ωmax，最小值ωmin。

2.3 融合莱维飞行

QPSO算法每一次迭代进化过程仅对非最优粒子进行更新，而忽略了最优粒子对于势阱中心 pid（t）的引导作用。比如由局部吸引子的表达式（下式）可知，在pb逐步向pg靠拢时，种群的所有粒子也在向pg聚集，这说明局部吸引子的值取决于pg的表现，如果pg陷入局部最优，则会导致局部吸引子引导的种群飞向局部最优，导致算法早熟收敛，因此为解决该问题，本文在局部吸引子中引入Levy飞行，对全局最优粒子进行扰动更新，进一步提升算法性能。

2.3.1 莱维飞行概念
莱维飞行由Paul Lévy提出，是以偶尔长程跳跃为特点的一类具有马尔科夫性质的非高斯随机游走过程。莱维飞行步长服从莱维分布，即Levy（λ）~t^-λ，其中指数部分
1<λ<3，莱维飞行数学描述如下：

其中，s为莱维飞行步长，为位移参数，为尺度参数，决定分布尺度。
2.3.2 莱维飞行改进QPSO
为将莱维飞行应用于QPSO算法，首先需对莱维飞行进行离散化处理， 上节中的公式离散化后如下式所示：

xlg(t)和xg(t)分别为第 t 次迭代时，经莱维飞行更新后的全局最优粒子位置和种群全局最优粒子位置，α为步长控制因子，一般取0.01，用大小步长飞向原本小概率探索区域，使得搜索区域更加均匀。Levy（λ）为随机搜索路径，➕代表点乘。
由于莱维分布十分复杂，无法实现，目前常用 Mantegna 算法模拟其飞行轨迹，其数学表达式如式所示：

其中，参数与Levy ( ) ~t^- 中的  关系为 =1+ ，且 0  2， 和  均服从正态分布，定义如式所示：

其中，方差   和  由式确定：

式中，为伽马函数，常数 一般取1.5
为说明莱维飞行优越性，下图给出了二维空间中粒子飞行轨迹图，记录 1000 代内的粒子位置变化情况。

由图可知，莱维飞行以大小步间隔形式进行，此类飞行方式加强了粒子活性及跳跃能力，扩大粒子搜索范围，有利于增强粒子多样性，避免算法陷入局部最优，提升算法收敛精度和速度。最终经过莱维飞行更新后势阱中心pid(t）如下式所示：

该方法增加了粒子飞行搜索的跳跃性，并以大小步不同的间隔形式对全局进行搜索，摆脱局部最优的困扰。
莱维飞行虽能使粒子摆脱局部最优，但并不能保证更新后的粒子位置优于原位置，所以为避免无意义的位置更新，本文引入贪婪算法的评价策略决定是否更新最优粒子位置，即当更新后的位置优于原位置时，才进行位置更新，否则保留原位置，实现过程如式所示：

其中， xnewg(t)为贪婪算法更新后的粒子位置， f ()代表粒子适应度函数。
基于贪婪算法的评价策略使本文的算法能利用进化过程中每一代最优粒子引导其他粒子进行搜索，从而使得算法取得更好收敛精度和速度。因此，将莱维飞行应用于算法中，可弥补算法中最优粒子无更新的不足。

2.4 改进量子粒子群自适应优化算法流程

基于以上融合动态权重因子和正余弦思想与融合莱维飞行算法的改进最终形成一种改进量子粒子群自适应优化算法 （Quantum Particle Swarm Optimization for Adaptive Sin-Cos and Levy Flights，ASL-QPSO）算法，融合以上策略得到的位置更新方程为：

改进后的算法从整体上提高了QPSO算法的收敛精度和收敛速度，ASL-QPSO算法流程如图所示：

03 代码目录

依旧是运行main_asl_qpso.m，main_qpso.m，main_pso.m后运行compare.m

注意更改适应度函数时要改自变量范围以及代码中有3个地方的适应度函数修改（代码里已标注）

04 算法性能分析

4.1 标准测试函数

本文采用多模态函数 Rastrigin、Griewank2个标准测试函数对算法性能进行仿真测试，这2个函数都是复杂的非线性全局优化函数，这对于测试算法的全局搜索性非常好。
4.1.1 Rastrigin函数

Rastrigin 函数的自变量𝑥𝑖的取值的范围：-5.12＜𝑥𝑖＜5.12；在 x = ( 0,0 ,…, 0 ) 处的时候存在全局极小点 0，该函数是一个非线性的多峰值函数，存在大量的局部最小值，寻找全局极小值时有一定的困难，因此用此函数可以，对算法的全局寻优能力检验测试。

4.1.2 Griewank函数

Griewank 函数的自变量𝑥𝑖的取值的范围：-600＜𝑥𝑖＜600；该函数在整个的数据分布含有大量局部极值，但是存在全局最小值 f(0) = 0，是一种比较复杂的多模的复杂性问题，因此选择该函数目的是对算法是否跳出局部，能够继续搜索的能力进行测试。

4.2 仿真结果

4.2.1 Rastrigin函数

可以看到本文改进的量子粒子群的收敛速度更快，收敛精度也很高，有效的提升了算法性能。
ASL-QPSO的自变量以及函数值如下：

4.2.2 Griewank函数

仍然，改进的算法收敛速度和精度依然很好，改进后的性能佳。
各算法得到的
ASL-QPSO的自变量以及函数值如下：

05 源码获取

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%https://mbd.pub/o/bread/ZJuVk5Zu%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

06 总结

本文中作者通过改进收缩-扩张因子、融合惯性权重和正余弦思想、融合莱维飞行和贪婪算法的评价策略来改进量子粒子群算法，获得了不错的效果，当然还可以融合作者前面提到的混沌初始化，让初始种群更加均匀，便于全局寻优。最后可以看到改进的算法能够避免陷入早熟，收敛速度快，性能更佳。

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