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引言

复习到后期，去做到前面内容的题目时，有一些需要记忆的结论就比较模糊，比如微分方程的特解形式、施密特正交、各种分布的概率密度等等。我便把这些模糊的点都记录下来了，整理在一起，方便随时查阅

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一、高数

常见泰勒展开

基本形式：$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n.$$ 常见展开式：$$e^x=\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{1}{2}{x}^2+\cdots +\frac{1}{n!}{x}^n+\cdots ,-\infty <x<+\infty .$$ $$\ln (1+x)=x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3+\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+\cdots ,-1<x\le 1.$$ $$\sin x=x-\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{5!}{x}^5+\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots ,-\infty <x<+\infty .$$ $$\cos x=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{4!}{x}^4+\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots ,-\infty <x<+\infty .$$ $$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2+\cdots +(-1{)}^n{x}^n+\cdots ,-1<x<1.$$ $$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots +x^n+\cdots ,-1<x<1.$$

$n$ 阶导数公式

分数 $1/(ax+b)$ 的 $n$ 阶导数：$$(\frac{1}{ax+b}{)}^{(n)}=(-1{)}^n\frac{a^{n}n!}{(ax+b{)}^{n+1}}$$ $$(\sin x{)}^{(n)}=\sin (x+\frac{n\pi }{2}),(\cos x{)}^{(n)}=\cos (x+\frac{n\pi }{2})$$

多元微分函数连续、可微、连续可偏导之间的关系

多元函数极值

无条件极值

条件极值

三角函数的积分性质

华里士公式（ “点火”公式 ）

首先是在区间 $[0,\pi /2]$ 上 $\sin ,\cos$ 可以互换，即 $${\int }_0^{\pi /2}f(\sin x)dx={\int }_0^{\pi /2}f(\cos x)dx$$ 特别地，有华里士公式（点火公式）：$$I_n={\int }_0^{\pi /2}(\sin x{)}^{n}dx={\int }_0^{\pi /2}(\cos x{)}^{n}dx=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2},I_0=\frac{\pi }{2},I_1=1.$$ 可以推广到更大的区间，在 $[0,\pi ]$ 上，由于 $\sin x$ 均为正，因此直接点火，乘个 2 就行。$${\int }_0^{\pi }(\sin x{)}^{n}dx=2{\int }_0^{\pi /2}(\sin x{)}^{n}dx.$$ $\cos x$ 由于一半区间为负，因此奇数次和偶数次，奇数次为 0 （可以记忆为奇函数对称为 0 ），偶数次同样是乘 2 。$${\int }_0^{\pi }(\cos x{)}^{n}dx=2{\int }_0^{\pi /2}(\cos x{)}^{n}dx$$ 对于在区间 $[0,2\pi ]$ 上，$\sin ,\cos$ 均有正有负，因此奇数次为 0 ，偶数次乘一个 4 。$${\int }_0^{2\pi }(\sin x{)}^{n}dx={\int }_0^{2\pi }(\cos x{)}^{n}dx=4{\int }_0^{\pi /2}(\sin x{)}^{n}dx.$$

特殊性质

在 $[0,\pi ]$ 上可以降到 $[0,\pi /2]$ 上；证明方法为拆区间，令 $t=x-\pi /2$ ，把后半部分换掉。$${\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx=2{\int }_0^{\pi /2}f(\sin x)dx,thenwehave,{\int }_0^{\pi /2}f(\sin x)dx={\int }_{\pi /2}^{\pi }f(\sin x)dx.$$ 多一个 $x$ 可以提到积分外面来，即 $${\int }_0^{\pi }xf(\sin x)dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx=\pi {\int }_0^{\pi /2}f(\sin x)dx.$$ 证明方法为令 $t=x-\pi$ 。

原函数与被积函数的奇偶性结论

• $f(x)$ 为奇函数可推出 ${\int }_a^{x}f(t)dt$ 为偶函数。
• $f(x)$ 为偶函数，不能得到 ${\int }_a^{x}f(t)dt$ 为奇函数，但可以得到 ${\int }_0^{x}f(t)dt$ 为奇函数。
• ${\int }_a^{x}f(x)dx$ 为奇/偶函数，一定可以推得 $f(x)$ 为相反的奇偶性。
• ${\int }_a^{x}f(x)dx$ 为周期函数，一定可以推得 $f(x)$ 也为周期函数，反之不一定。

球坐标变换公式

$r$ 表示几何体上一点到原点距离，从原点引一条射线看范围；$\theta$ 表示 $r$ 在 $xOy$ 平面的投影直线与 $x$ 轴正向的夹角，范围是 $[0,2\pi ]$；$\phi$ 表示和 $z$ 轴正向夹角，范围是 $[0,\pi ]$ ，想象喇叭开花。

变换公式为 $$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \sin \phi \\ y=r\sin \theta \sin \phi \\ z=r\cos \phi \end{array},dxdydz=r^2\sin \phi drd\theta d\phi .$$

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二、线代

施密特正交化

把一组线性无关的向量组转化为一组两两正交且规范的向量组的过程，称为施密特正交化。

设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性无关，其正交化过程为：

（1）正交化 $$\begin{gathered} let{\beta }_1={\alpha }_1,{\beta }_2={\alpha }_2-\frac{({\alpha }_2,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1 \\ {\beta }_n={\alpha }_n-\frac{({\alpha }_n,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1-\frac{({\alpha }_n,{\beta }_2)}{({\beta }_2,{\beta }_2)}{\beta }_2-\cdots -\frac{({\alpha }_n,{\beta }_{n-1})}{({\beta }_{n-1},{\beta }_{n-1})}{\beta }_{n-1} \end{gathered}$$ 则向量组 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n$ 两两正交。
（2）规范化。各自除以各自的模即可。

分块矩阵

首先是行列式，有以下三个结论：

（1）$\left|\begin{array}{cccc}{A}_1& & & \\ & A_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & A_n\end{array}\right|=|A_1|\cdot |A_2|\cdots |A_n|.$

（2）$\left|\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right|=|A|\cdot |B|.$

（3）设 $A,B$ 分别为 $m,n$ 阶方阵，则有 $\left|\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right|=(-1{)}^{mn}|A|\cdot |B|.$

然后是转置的结论：${\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]}^T=\left[\begin{array}{cc}{A}^T& C^T\\ B^T& D^T\end{array}\right].$

接着是逆矩阵的结论：$${\left[\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{A}^{-1}& O\\ O& B^{-1}\end{array}\right],{\left[\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}O& B^{-1}\\ A^{-1}& O\end{array}\right].$$

转置、逆、伴随之间的运算

对可逆矩阵，转置、逆和伴随可以随意交换顺序，即 $$(A^{-1}{)}^T=(A^T{)}^{-1},(A^{\ast }{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^{\ast },(A^{\ast }{)}^T=(A^T{)}^{\ast }.$$

关于秩

定义

矩阵的秩的定义：

设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，从中任取 $r$ 行 $r$ 列，元素按照原有次序构成的 $r$ 阶行列式，称为矩阵 $A$ 的 $r$ 阶子式。若 矩阵 $A$ 中至少有一个 $r$ 阶子式不为零，但所有 $r+1$ 阶子式（可能没有）均为零，称 $r$ 为矩阵 $A$ 的秩。

向量组秩的定义：

设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 为一组向量，若其存在 $r$ 个向量线性无关，且任意 $r+1$ 个向量（不一定有）一定线性相关，称这 $r$ 个线性无关的向量构成的向量组为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 的极大线性无关组，极大线性无关组所含向量的个数，称为向量组的秩。

性质

矩阵的秩有如下性质： r ( A ) = r ( A T ) = r ( A A T ) = r ( A T A ) . [ r ( A ) + r ( B ) − n ] ≤ r ( A + B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) . r ( A B ) ≤ min ⁡ { r ( A ) , r ( B ) } . i f A B = O , t h e n , r ( A ) + r ( B ) ≤ n . i f ∣ P ∣ , ∣ Q ∣ ≠ 0 , r ( A ) = r ( P A ) = r ( A Q ) = r ( P A Q ) . r ( A ∗ ) = { n r ( A ) = n 1 r ( A ) = n − 1 0 r ( A ) < n − 1 , ( n ≥ 2 ) . l e t A m × n , B m × s , t h e n , max ⁡ { r ( A ) , r ( A ) } ≤ r ( A ⋮ B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) . α , β ≠ 0 , r ( A ) = 1 ⟺ A = α β T . r ( A O O B ) = r ( A ) + r ( A ) . r(\pmb{A})=r(\pmb{A}^T)=r(\pmb{A}\pmb{A}^T)=r(\pmb{A}^T\pmb{A}).\\ [r(\pmb{A})+r(\pmb{B})-n]\leq r(\pmb{A}+\pmb{B})\leq r(\pmb{A})+r(\pmb{B}). \\ r(\pmb{AB})\leq \min\{r(\pmb{A}),r(\pmb{B})\}. \\ if\space \pmb{AB=O},then\space ,r(\pmb{A})+r(\pmb{B})\leq n. \\ if\space |\pmb{P}|,|\pmb{Q}|\ne0,r(\pmb{A})=r(\pmb{PA})=r(\pmb{AQ})=r(\pmb{PAQ}).\\ r(\pmb{A}^*)=\begin{cases} n&r(\pmb{A})=n\\ 1&r(\pmb{A})=n-1\\ 0&r(\pmb{A})<n-1 \end{cases},(n\geq2).\\ let\space \pmb{A}_{m\times n},\pmb{B}_{m\times s},then,\max\{r(\pmb{A}),r(\pmb{A})\}\leq r(\pmb{A}\space\vdots \space B)\leq r(\pmb{A})+r(\pmb{B}). \\ \pmb{\alpha,\beta\ne 0},r(\pmb{A})=1 \pmb{\Longleftrightarrow} \pmb{A}=\pmb{\alpha\beta}^T.\\ r\begin{pmatrix} \pmb{A} & \pmb{O} \\ \pmb{O}& \pmb{B}\end{pmatrix}=r(\pmb{A})+r(\pmb{A}). r(A)=r(AT)=r(AAT)=r(ATA).[r(A)+r(B)−n]≤r(A+B)≤r(A)+r(B).r(AB)≤min{r(A),r(B)}.if AB=O,then ,r(A)+r(B)≤n.if ∣P∣,∣Q∣=0,r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ).r(A∗)=⎩ ⎨ ⎧​n10​r(A)=nr(A)=n−1r(A)<n−1​,(n≥2).let Am×n​,Bm×s​,then,max{r(A),r(A)}≤r(A ⋮ B)≤r(A)+r(B).α,β=0,r(A)=1⟺A=αβT.r(AO​OB​)=r(A)+r(A).

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三、概统

常见分布的期望及方差

{ 分布 ‾ 分布律或概率密度 ‾ 数学期望 ‾ 方差 ‾ （ 0 − 1 ）分布 P { X = k } = p k ( 1 − p ) 1 − k , k = 0 , 1 p p ( 1 − p ) 二项分布 P { X = k } = C n k p k ( 1 − p ) n − k , k = 0 ⋯ n n p n p ( 1 − p ) 泊松分布 P { X = k } = λ k k ! e − λ , k = 0 , 1 , 2 , ⋯ λ λ 正态分布 f ( x ) = 1 2 π σ E X P ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) μ σ 2 几何分布 P { X = k } = ( 1 − p ) k − 1 p , k = 1 , 2 , ⋯ 1 / p ( 1 − p ) / p 2 \begin{cases}\underline{分布}&\underline{分布律或概率密度}&\underline{数学期望}&\underline{方差}\\ （0-1）分布&P\{X=k\}=p^k(1-p)^{1-k},k=0,1&p&p(1-p)\\ 二项分布& P\{X=k\}=C_n^kp^k(1-p)^{n-k},k=0\cdots n&np&np(1-p)\\ 泊松分布&P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},k=0,1,2,\cdots&\lambda&\lambda \\ 正态分布 & f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}E XP(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})&\mu&\sigma^2\\ 几何分布&P\{X=k\}=(1-p)^{k-1}p,k=1,2,\cdots&1/p&(1-p)/p^2\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​分布​（0−1）分布二项分布泊松分布正态分布几何分布​分布律或概率密度​P{X=k}=pk(1−p)1−k,k=0,1P{X=k}=Cnk​pk(1−p)n−k,k=0⋯nP{X=k}=k!λk​e−λ,k=0,1,2,⋯f(x)=2π ​σ1​EXP(−2σ2(x−μ)2​)P{X=k}=(1−p)k−1p,k=1,2,⋯​数学期望​pnpλμ1/p​方差​p(1−p)np(1−p)λσ2(1−p)/p2​ 均匀分布：$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1/(b-a),& a<x<b\\ 0,& else\end{array},E(X)=\frac{a+b}{2},D(X)=\frac{(b-a{)}^2}{12}.$$ 指数分布：$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x},& x>0\\ 0,& else\end{array},E(X)=\frac{1}{\lambda },D(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}.$$

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