M:

1. intrinsic matrix
   $\left[\begin{array}{ccc}{f}_x& s& c_x\\ 0& f_y& c_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

$(c_x,c_y)$: camera center in pixels
$(f_x,f_y)$: focal length in pixels

$\frac{X}{Z}=\frac{u}{f_x}$
其中 $f_x=\frac{f}{p_x}$, $f$ 是focal length in world unites (millimeters), $p_x$像素宽度, 通过胶片宽度除以像素X方向的个数得到.

下面来看skew

$s=f_{x}tan\alpha$

假设每$p_y$在$p_x$上面的偏移是 $b$
那么$tan\alpha =\frac{b{p}_x}{p_y}$

那么$\left[\begin{array}{ccc}{f}_x& s& c_x\\ 0& f_y& c_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}\frac{X}{Z}\\ \frac{Y}{Z}\\ 1\end{array}\right]$

第一行可得$f_x\ast \frac{X}{Z}+s\ast \frac{Y}{Z}+c_x=f_x\ast \frac{X}{Z}+f_{x}tan\alpha \ast \frac{Y}{Z}+c_x$

这里 $f_{x}tan\alpha \ast \frac{Y}{Z}$有两种理解方式, 第一种是通过$tan\alpha \ast Y$将在世界坐标系中将$Y$转成$X$方向的偏移$bX$, 然后将这个偏移通过乘以$\frac{f_x}{z}$转成x方向的像素偏移

第二种是 $f_{x}tan\alpha \ast \frac{Y}{Z}=\frac{f}{p_x}\ast \frac{b{p}_x}{p_y}\ast \frac{Y}{Z}=b{f}_y\ast \frac{Y}{Z}$ 先算在y方向有多少像素, 再乘以$b$得到偏移

第二行注意如果有skew, 那么$f_y$得用$\frac{f_y}{cos\alpha }$代替, 因为y轴变斜了, 相应也变长了

https://towardsdatascience.com/camera-calibration-fda5beb373c3

https://towardsdatascience.com/what-are-intrinsic-and-extrinsic-camera-parameters-in-computer-vision-7071b72fb8ec