本文要说的是扇束重排，对于扇束及锥束直接重建公式，可以看我做的PDF
https://github.com/leslielee619/CTRec/blob/main/重建公式.pdf

在说重排之前，我还想对那个文件内容补充两点：
1、FDK算法或Feldkamp算法，出自Feldkamp，Davis，Kress三人于1984年发表论文
Feldkamp, L. A ,Davis,et al.Practical cone-beam algorithm[J].Journal of the Optical Society of America A, 1984.DOI:10.1364/JOSAA.1.000612.
2、想象一个射线系统，没有检测物体。射线束从射线源发出，由探测器接收。假定与射线垂直的平面（射线束横截面）上的光子总数不变。沿着射线方向，扇束横截面越来越大，因此每条射线上的光子数越来越少。因此导致了扇束重建公式与平行束重建公式的不同，前者在滤波与反投影之前都要进行加权，而后者则不需要加权。
对于算法的具体实现，重建公式背后含义我之后会继续去理解。

扇束重排rebinning

将扇形束投影数据重排为平行束，便可直接应用平行束滤波反投影算法。

投影数据可用正弦图描述，横轴为$t$，纵轴为$\theta$。$t$为射线至旋转中心的距离，$\theta$为射线与$x$轴的夹角。

对于平行投影，单次投影数据对应正弦图的一行。这一组数据$\theta$固定，$t$变化。
对于（等角或等间距）扇束投影，单次投影数据对应正弦图的一个斜行（近似为一个斜行）。这一组数据$\theta$变化，$t$变化。

同平行束一样，扇形束中的每条射线也是直线，因此可将其与平行束建立联系。

方法1（等距或等角）：按照坐标$(t,\theta )$，将每个扇形束投影放至正弦图中。再通过插值，求出对应的平行束正弦图，便可进行滤波反投影算法。即将一个平行四边形网格重新插值为矩形网格。
注：平行束的正弦图离散表示就是一个矩形网格，我们就是要求这每个网格点。网格点可通过由其周围的扇形束数据插值得到。

上面这个图是我自己画的，可以很形象的说明如何重排。

方法2（等角）：step1、先沿横轴插值，将投影重排为等距扇束；step2、沿纵轴插值，将等距扇束重排为平行束。

方法3（等角）：step1、先沿纵轴插值，将投影重排为非等间距的平行束；step2、沿横轴插值，将非等间距平行束重排为（等间距）平行束。

对于等距扇束重排，可采样方法2的step2。
方1为二维插值，方2方3为一维插值。

术语：
iso-center旋转中心
iso-ray过旋转中心的射线，简称中心射线
iso-channel：指iso-ray与一维探测器的交点，简称中心通道。但该探测器通道不一定实际存在。