2018年第七届数学建模国际赛小美赛
A题 空中加油飞行计划
原题再现：
太平洋中部一个小岛上的居民被自然灾害困住。救援人员需要派遣一架轻型飞机运送少量急救药品到岛上，并运送一名重伤者到医疗基地求救。岛上有一个无人值守的简易机场，可以使用，但没有飞机或燃料储备。飞机从距离该岛615海里的基地起飞。在正常载荷条件下，飞机最大航程为680海里。为了返回，我们必须进行空中加油。
这种飞机能够在空中接收油。经过简单的改装，同一型号的飞机可以完成合作伙伴空中加油的任务，即将自己的燃油分配给合作伙伴。该类型飞机的最大燃油容量为155kg。空中加油设备安装后，最大载油量增加至170kg，其他载油量无法承载。基地拥有一支机队和足够的装备，可以在短时间内改装成油轮。
问题：
1、请设计可行的空中加油方案，使救援人员能够完成任务。
2、空中加油属于高风险作业，有失败的可能。运输和加油飞机也有发生故障的概率。请考虑工程各部分的失败概率。当我们需要保证总成功率时，请给出相应的最优解决方案。
整体求解过程概述(摘要)
在特定情况下，救援人员需要派遣轻型飞机将伤员从岛上运送到医疗基地进行救援。在本文中，我们设计了一个可行的空中加油方案，使救援人员能够完成任务，然后考虑失败的概率，得到一个最优解。
首先，我们假设往返途中分别有m个加油点和n个加油点，每个加油点允许一个加油机为飞机加油。在救援成功的前提下，引入决策变量0和1来确定需要加油的点。确保剩余油足以支持飞机在最后一次加油后到达下一个加油点并安全返回基地，其油量不得超过最大容量。此外，我们考虑为油轮和飞机留下少量的安全油。以油船总油耗最小为目标函数，建立了混合整数非线性规划模型。利用Lingo软件，采用分枝定界法对模型进行求解。最后得出合理的加油方案：配备4艘加油船，2艘加油船分别在离岛90海里和270海里加油20.51471kg和40.58824kg；另外两艘加油船分别在距基地310海里和200海里处加油23.67647kg和45.58824kg。
为了改进我们的模型，我们考虑了爬升、平层和着陆三个阶段的不同石油消耗比例。在加油过程中设置了一个恒定的距离，并尝试了三级距离和油耗比的不同参数组。通过敏感性分析发现，我国主要需要4艘油船，总油耗在467kg~555kg之间，说明了模型和加油方案的可行性。具体程序如表2和图4所示。
其次，将换料过程分为交会、对接、换料和解体四个阶段。我们考虑前三个阶段的不同情况，其中有相应的失效概率。本文建立了以成功率最大、总油耗最小为目标函数的双目标规划模型。然后选择遗传算法对规划模型进行求解，分别以总成功率为85%和90%为一个成功任务。最后选取八组三阶段失效概率在相应情况下进行灵敏度分析。表3和表4的结果表明，该方案合理可行。
由于故障事件的增加将导致空中加油的不确定性，因此需要更多的加油机来确保较高的成功率。在相同的事件概率下，较高的成功率阈值迫使我们派遣更多的油轮。保证更高的成功率，成功率越低，我们为更省油的目的派出的飞机就越少。
模型假设：
1、为了简化我们的模型，不考虑轻型飞机和油轮的起飞时间，假设油轮和飞机是同步的，这样就可以在需要的时候立即接收燃油。
2、不考虑油轮向其他油轮供油的情况。
3、每辆加油车完成一次加油任务后返回。
4、不考虑天气等外部环境因素的影响
5、救援人员和加油人员经过严格的飞行训练，确保飞行安全。
问题重述：
问题背景
太平洋中部一个小岛上的居民被自然灾害困住。救援人员需要派遣一架轻型飞机运送少量急救药品到岛上，并运送一名重伤者到医疗基地求救。飞机从距离该岛615海里的基地起飞。在正常载荷条件下，飞机最大航程为680海里。为了返回，我们必须进行空中加油。
这种飞机能够在空中接收油。经过简单的改装，同一型号的飞机可以完成合作伙伴空中加油的任务，即将自己的燃油分配给合作伙伴。该类型飞机的最大燃油容量为155kg。空中加油设备安装后，最大油量增加至170kg。基地拥有一支机队和足够的装备，可以在短时间内改装成油轮。
问题重述
1、设计可行的空中加油方案，使救援人员能够完成任务。
2、空中加油属于高风险作业，有失败的可能。运输和加油飞机也有发生故障的概率。考虑到各部分工作的失效概率，需要保证总成功率和相应的最优解。
模型的建立与求解整体论文缩略图
全部论文请见下方“ 只会建模 QQ名片” 点击QQ名片即可
部分程序代码：(代码和文档not free)
c=0.2279411764705;
Xg0=0;
Yg0=155;
Xb0=615;
Yb0=0;
Rg0=0;
n=38;
enddata
sets:
gg/1..n/:g_use,Xg,Yg,Tg,costg;
bb/1..n/:b_use,Xb,Yb,Tb,costb;
Rgg/1..n/:Rg;
Rbb/1..n/:Rb;
Endsets
min=(@Sum(gg(i):costg(i))+@Sum(bb(i):costb(i)));
@for(gg(i):@Bin(g_use(i));Xg(i)=i*380/n);
@for(bb(i):@Bin(b_use(i));Xb(i)=380-(i-1)*380/n);
@for(gg(i):costg(i)=2*c*g_use(i)*Xg(i)+g_use(i)*Yg(i);@BND(0,Yg(i),165);@BND(0,cost
g(i),165));
@for(bb(i):costb(i)=2*c*b_use(i)*Xb(i)+b_use(i)*Yb(i);@BND(0,Yb(i),165);@BND(0,cost
b(i),165));
@for(Rgg(i):Rg(i)=@IF(i#eq#1,Rg0+Yg0-c*(Xg(i)-Xg0),Rg(i-1)+g_use(i-1)*Yg(i-1)-
c*(Xg(i)-Xg(i-1)));
@for(gg(i):Tg(i)=Rg(i)+g_use(i)*Yg(i));@BND(0,Tg(i),155));
Rb0=Rg(n)+g_use(n)*Yg(n)-c*(615-Xg(n));
@for(Rbb(i):Rb(i)=@IF(i#eq#1,Rb0+Yb0-c*(Xb0-Xb(i)),Rb(i-1)+b_use(i-1)*Yb(i-1)-
c*(Xb(i-1)-Xb(i)));
@for(bb(i):Tb(i)=Rb(i)+b_use(i)*Yb(i));@BND(0,Tb(i),155));
@for(gg(i):Rg(i)>=5);
@for(bb(i):Rb(i)>=5);
Rb0>=5;
Rb(n)+b_use(n)*Yb(n)-c*Xb(n)>=5;
x=20;
s1=0.15;
s3=0.15;
l1=50;
m1=5;
l3=50;
m2=5;
Xg0=0;
Yg0=155;
Xb0=615;
n=38;
enddata
sets:
start/1..m1/;
load/1..m2/;
gg/1..n/:g_use,Xg,Yg,Tg,costg;
bb/1..n/:b_use,Xb,Yb,Tb,costb;
Rgg/1..n/:Rg;
Rbb/1..n/:Rb;
endsets
!min=@Sum(gg(i):g_use(i))+@Sum(bb(i):b_use(i));
min=(@Sum(gg(i):costg(i))+@Sum(bb(i):costb(i)));
s2=1-s1-s3;
l2=615-l1-l3;
c=155*s2/(680-l1-l3);
@for(gg(i):@Bin(g_use(i));Xg(i)=i*380/n);
@for(bb(i):@Bin(b_use(i));Xb(i)=380-(i-1)*380/n);
@for(start(i):g_use(i)=0);
@for(load(i):b_use(n-i+1)=0);
@for(gg(i):costg(i)=g_use(i)*170*(s1+s3)+c*g_use(i)*(2*Xg(i)+2*x-l1-
l3)+g_use(i)*Yg(i);@BND(0,Yg(i),165);@BND(0,costg(i),165));
@for(bb(i):costb(i)=b_use(i)*170*(s1+s3)+c*b_use(i)*(2*Xb(i)-l1-
l3)+b_use(i)*Yb(i);@BND(0,Yb(i),165);@BND(0,costb(i),165));
@for(Rgg(i):Rg(i)=@IF(i#eq#1,Yg0-Yg0*s1-c*(Xg(i)-Xg0-l1),Rg(i-1)+g_use(i-1)*Yg(i-1)-
c*(Xg(i)-Xg(i-1))));
@for(gg(i):Tg(i)=Rg(i)+g_use(i)*Yg(i)-c*x;@BND(0,Tg(i),155));
Rb0=Rg(n)+g_use(n)*Yg(n)-c*(615-Xg(n));
@for(Rbb(i):Rb(i)=@IF(i#eq#1,Rb0-155*s1-c*(Xb0-l1-Xb(i)),Rb(i-1)+b_use(i-1)*Yb(i-1)-
c*(Xb(i-1)-Xb(i))));
@for(bb(i):Tb(i)=Rb(i)+b_use(i)*Yb(i)-c*x;@BND(0,Tb(i),155));
@for(Rgg(i):Rg(i)>=5);
@for(Rbb(i):Rb(i)>=5);
Rb0>=5;
Rb(n)+b_use(n)*Yb(n)-c*Xb(n)-155*s3>=5;
END
clc,clear
tic;
pop_size = 200; % population size
pop_len = 71;
gnmax = 300; % maximum number of generations
pc = 0.8; %crossover probability
pm = 0.1; %mutation probability
% The formation of an initial population
s = zeros(pop_size,pop_len);
for i=1:pop_sizetmp = rand(1,pop_len);tmp(tmp>0.3)=1;tmp(tmp<=0.3)=0;s(i,:) = tmp;
end
% Calculate fitness function
[~,p] = objf(s);
gn = 1; %The current algebra.
ymean = zeros(gn,1);
ymin = zeros(gn,1);
xmin = zeros(pop_size,pop_len);
scnew = zeros(pop_size,pop_len); %Store crossover populations
smnew = zeros(pop_size,pop_len); %Store the mutant population
while gn<gnmax+1for j=1:2:pop_sizeseln=sel(p); %selectscro=cro(s,seln,pc); scnew(j,:)=scro(1,:);scnew(j+1,:)=scro(2,:);smnew(j,:)=mut(scnew(j,:),pm); smnew(j+1,:)=mut(scnew(j+1,:),pm);ends = smnew; % New populations have emerged[f,p] = objf(s); % Calculate the fitness of the new population% Optimal fitness and optimal individual location[fmin,nmin] = min(f);% Average fitness and optimal fitness were recordedymean(gn) = mean(f);ymin(gn) = fmin;% Record the best individuals of the current generationx = s(nmin,:);
xmin(gn,:) = x;gn = gn+1;
end
% Remove maximum points from the image
max_ymin = 0;
for i=1:length(ymin)if ymin(i) ~= 9999999if max_ymin < ymin(i)max_ymin = ymin(i);endend
end
for i=1:length(ymin)if ymin(i) == 9999999ymin(i) = max_ymin;end
end
[min_ymin,index] = min(ymin);
best_ym = ymin(index);
best_x = xmin(index,:);
figure(1);
plot(ymin,'r'); hold on;grid;
title('search process');
xlabel('The number of iterations');
ylabel('Refuel')
legend('Optimal solution');
fprintf('Refuel:%d
\n',min_ymin);
fprintf('best_x:');
disp(best_x);
toc; %------------------------------------------------
%The fitness of all populations was calculated
function [f,p]=objf(s)inn=size(s,1); %Read the population sizef=zeros(inn,1);for i=1:innf(i)=fitness(s(i,:)); %Calculate fitnessendtmp = f;f=(1000./f)'; %Take the bottom% Get the wheelfsum=0;
for i=1:innfsum=fsum+f(i)^15;endps=zeros(inn,1);for i=1:innps(i)=f(i)^15/fsum;end%Calculate the cumulative probabilityp=zeros(inn,1);p(1)=ps(1);for i=2:innp(i)=p(i-1)+ps(i);endp=p';f = tmp;
end
%--------------------------------------------------
%Determine the probability
function pcc=pro(pc)
test(1:100)=0;
p=round(100*pc);
test(1:p)=1;
n=round(rand*99)+1;
pcc=test(n);
end
%--------------------------------------------------
%Select operation
function seln=sel(p)
seln=zeros(2,1);
%Choose two individuals from a population
%preferably not the same individual twice
for i=1:2r=rand; prand=p-r;j=1;while prand(j)<0j=j+1;endseln(i)=j; if i==2&&j==seln(i-1) %If they're the same, I'm going to do it again
r=rand; prand=p-r;j=1;while prand(j)<0j=j+1;endend
end
end
%------------------------------------------------
%Crossover operations
function scro=cro(s,seln,pc)
bn=size(s,2);
pcc=pro(pc);
scro(1,:)=s(seln(1),:);
scro(2,:)=s(seln(2),:);
if pcc==1c1 = round(rand*(bn-2))+1; c2 = round(rand*(bn-2))+1;chb1 = min(c1,c2);chb2 = max(c1,c2);middle = scro(1,chb1+1:chb2);scro(1,chb1+1:chb2) = scro(2,chb1+1:chb2);scro(2,chb1+1:chb2) = middle;
end
end
%--------------------------------------------------
%Mutation operation
function snnew=mut(snew,pm)
bn=size(snew,2);
snnew=snew;
pmm=pro(pm);
if pmm==1for i=1:3c1=round(rand*(bn-2))+1;snnew(c1)=1-snnew(c1);end
end
end
