之前我们实现的符号表中，不难看出，符号表的增删查操作，随着元素个数N的增多，其耗时也是线性增多的，时间复杂度都是O(n),为了提高运算效率，接下来我们学习树这种数据结构.

树的基本定义

树是我们计算机中非常重要的一种数据结构，同时使用树这种数据结构，可以描述现实生活中的很多事物，例如家谱、单位的组织架构、等等。
树是由n（n>=1）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

树具有以下特点：

1. 每个结点有零个或多个子结点；
2. 没有父结点的结点为根结点；
3. 每一个非根结点只有一个父结点；
4. 每个结点及其后代结点整体上可以看做是一棵树，称为当前结点的父结点的一个子树；
   

树的相关术语

结点的度：
一个结点含有的子树的个数称为该结点的度；
叶结点：
度为0的结点称为叶结点，也可以叫做终端结点
分支结点：
度不为0的结点称为分支结点，也可以叫做非终端结点
结点的层次：
从根结点开始，根结点的层次为1，根的直接后继层次为2，以此类推
结点的层序编号：
树中的结点，按照从上层到下层，同层从左到右的次序排成一个线性序列，把他们编成连续的自然数。
树的度：
树中所有结点的度的最大值
树的高度(深度)：
树中结点的最大层次
森林：
m（m>=0）个互不相交的树的集合，将一颗非空树的根结点删去，树就变成一个森林；给森林增加一个统一的根结点，森林就变成一棵树

孩子结点：
一个结点的直接后继结点称为该结点的孩子结点
双亲结点(父结点)：
一个结点的直接前驱称为该结点的双亲结点
兄弟结点：
同一双亲结点的孩子结点间互称兄弟结点

二叉树的基本定义

叉树就是度不超过2的树(每个结点最多有两个子结点)

满二叉树：
一个二叉树，如果每一个层的结点树都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。

完全二叉树：
叶节点只能出现在最下层和次下层，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树

二叉查找树的创建

二叉树的结点类

根据对图的观察，我们发现二叉树其实就是由一个一个的结点及其之间的关系组成的，按照面向对象的思想，我们设计一个结点类来描述结点这个事物。
结点类API设计：

类名	Node<Key,Value>
构造方法	Node(Key key, Value value, Node left, Node right)：创建Node对象
成员变量	1. public Node left:记录左子结点 2. public Node right:记录右子结点 3. public Key key:存储键 4. public Value value:存储值

代码实现：

private class Node<Key,Value>{//存储键public Key key;//存储值private Value value;//记录左子结点public Node left;//记录右子结点public Node right;public Node(Key key, Value value, Node left, Node right) {this.key = key;this.value = value;this.left = left;this.right = right;}
}

二叉查找树API设计

类名	BinaryTree,Value value>
构造方法	BinaryTree()：创建BinaryTree对象
成员变量	1. private Node root:记录根结点 2. private int N:记录树中元素的个数
成员方法	1. public void put(Key key,Value value):向树中插入一个键值对 2. private Node put(Node x, Key key, Value val)：给指定树x上，添加键一个键值对，并返回添加后的新树 3. public Value get(Key key):根据key，从树中找出对应的值 4. private Value get(Node x, Key key):从指定的树x中，找出key对应的值 5. public void delete(Key key):根据key，删除树中对应的键值对 6. private Node delete(Node x, Key key):删除指定树x上的键为key的键值对，并返回删除后的新树 7. public int size():获取树中元素的个数

二叉查找树实现

插入方法put实现思想：

1. 如果当前树中没有任何一个结点，则直接把新结点当做根结点使用
2. 如果当前树不为空，则从根结点开始：
   1. 如果新结点的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；
   2. 如果新结点的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；
   3. 如果新结点的key等于当前结点的key，则树中已经存在这样的结点，替换该结点的value值即可。

查询方法get实现思想：
从根节点开始：

1. 如果要查询的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；
2. 如果要查询的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；
3. 如果要查询的key等于当前结点的key，则树中返回当前结点的value。

删除方法delete实现思想：
:::info
1.找到被删除结点；
2.找到被删除结点右子树中的最小结点minNode
3.删除右子树中的最小结点
4.让被删除结点的左子树称为最小结点minNode的左子树，让被删除结点的右子树称为最小结点minNode的右子树
让被删除结点的父节点指向最小结点minNode
:::

代码：

//二叉树代码
public class BinaryTree<Key extends Comparable<Key>, Value> {//记录根结点private Node root;//记录树中元素的个数private int N;//获取树中元素的个数public int size() {return N;}//向树中添加元素key-valuepublic void put(Key key, Value value) {root = put(root, key, value);}//向指定的树x中添加key-value,并返回添加元素后新的树private Node put(Node x, Key key, Value value) {if (x == null) {//个数+1N++;return new Node(key, value, null, null);}int cmp = key.compareTo(x.key);if (cmp > 0) {//新结点的key大于当前结点的key，继续找当前结点的右子结点x.right = put(x.right, key, value);} else if (cmp < 0) {//新结点的key小于当前结点的key，继续找当前结点的左子结点x.left = put(x.left, key, value);} else {//新结点的key等于当前结点的key，把当前结点的value进行替换x.value = value;}return x;}//查询树中指定key对应的valuepublic Value get(Key key) {return get(root, key);}//从指定的树x中，查找key对应的值public Value get(Node x, Key key) {if (x == null) {return null;}int cmp = key.compareTo(x.key);if (cmp > 0) {//如果要查询的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；return get(x.right, key);} else if (cmp < 0) {//如果要查询的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；return get(x.left, key);} else {//如果要查询的key等于当前结点的key，则树中返回当前结点的value。return x.value;}}//删除树中key对应的valuepublic void delete(Key key) {root = delete(root, key);}//删除指定树x中的key对应的value，并返回删除后的新树public Node delete(Node x, Key key) {if (x == null) {return null;}int cmp = key.compareTo(x.key);if (cmp > 0) {//新结点的key大于当前结点的key，继续找当前结点的右子结点x.right = delete(x.right, key);} else if (cmp < 0) {//新结点的key小于当前结点的key，继续找当前结点的左子结点x.left = delete(x.left, key);} else {//新结点的key等于当前结点的key,当前x就是要删除的结点//1.如果当前结点的右子树不存在，则直接返回当前结点的左子结点if (x.right == null) {return x.left;}//2.如果当前结点的左子树不存在，则直接返回当前结点的右子结点if (x.left == null) {return x.right;}//3.当前结点的左右子树都存在//3.1找到右子树中最小的结点Node minNode = x.right;while (minNode.left != null) {minNode = minNode.left;}//3.2删除右子树中最小的结点Node n = x.right;while (n.left != null) {if (n.left.left == null) {n.left = null;} else {n = n.left;}}//3.3让被删除结点的左子树称为最小结点minNode的左子树，让被删除结点的右子树称为最小结点minNode的右子树minNode.left = x.left;minNode.right = x.right;//3.4让被删除结点的父节点指向最小结点minNodex = minNode;//个数-1N--;}return x;}private class Node {//存储键public Key key;//存储值private Value value;//记录左子结点public Node left;//记录右子结点public Node right;public Node(Key key, Value value, Node left, Node right) {this.key = key;this.value = value;this.left = left;this.right = right;}}
}
//测试代码
public class Test {public static void main(String[] args) throws Exception {BinaryTree<Integer, String> bt = new BinaryTree<>();bt.put(4, "二哈");bt.put(1, "张三");bt.put(3, "李四");bt.put(5, "王五");System.out.println(bt.size());bt.put(1,"老三");System.out.println(bt.get(1));System.out.println(bt.size());bt.delete(1);System.out.println(bt.size());}
}

二叉查找树其他便捷方法

查找二叉树中最小的键

在某些情况下，我们需要查找出树中存储所有元素的键的最小值，比如我们的树中存储的是学生的排名和姓名数据，那么需要查找出排名最低是多少名？这里我们设计如下两个方法来完成：

public Key min()	找出树中最小的键
private Node min(Node x)	找出指定树x中，最小键所在的结点

//找出整个树中最小的键
public Key min(){return min(root).key;
}
//找出指定树x中最小的键所在的结点
private Node min(Node x){
if (x.left!=null){return min(x.left);
}else{return x;
}

查找二叉树中最大的键

在某些情况下，我们需要查找出树中存储所有元素的键的最大值，比如比如我们的树中存储的是学生的成绩和学生的姓名，那么需要查找出最高的分数是多少？这里我们同样设计两个方法来完成：

public Key max()	找出树中最大的键
public Node max(Node x)	找出指定树x中，最大键所在的结点

//找出整个树中最大的键
public Key max(){return max(root).key;
}
//找出指定树x中最大键所在的结点
public Node max(Node x){
if (x.right!=null){return max(x.right);
}else{return x;
}
}

二叉树的基础遍历

很多情况下，我们可能需要像遍历数组数组一样，遍历树，从而拿出树中存储的每一个元素，由于树状结构和线性结构不一样，它没有办法从头开始依次向后遍历，所以存在如何遍历，也就是按照什么样的搜索路径进行遍历的问题。

我们把树简单的画作上图中的样子，由一个根节点、一个左子树、一个右子树组成，那么按照根节点什么时候被访问，
:::info
我们可以把二叉树的遍历分为以下三种方式：
1.前序遍历；
先访问根结点，然后再访问左子树，最后访问右子树
2.中序遍历；
先访问左子树，中间访问根节点，最后访问右子树
3.后序遍历；
先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点
:::
如果我们分别对下面的树使用三种遍历方式进行遍历，得到的结果如下：

前序遍历

我们在4.4中创建的树上，添加前序遍历的API：

:::info
public Queue preErgodic()：使用前序遍历，获取整个树中的所有键
private void preErgodic(Node x,Queue keys)：使用前序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中
:::

实现过程中，我们通过前序遍历，把,把每个结点的键取出，放入到队列中返回即可。
实现步骤：

1. 把当前结点的key放入到队列中;
2. 找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树
3. 找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树

代码：

//使用前序遍历，获取整个树中的所有键
public Queue<Key> preErgodic(){Queue<Key> keys = new Queue<>();preErgodic(root,keys);return keys;
}
//使用前序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中
private void preErgodic(Node x,Queue<Key> keys){if (x==null){return;}//1.把当前结点的key放入到队列中;keys.enqueue(x.key);//2.找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树if (x.left!=null){preErgodic(x.left,keys);}//3.找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树if (x.right!=null){preErgodic(x.right,keys);}
}
//测试代码
public class Test {public static void main(String[] args) throws Exception {BinaryTree<String, String> bt = new BinaryTree<>();bt.put("E", "5");bt.put("B", "2");bt.put("G", "7");bt.put("A", "1");bt.put("D", "4");bt.put("F", "6");bt.put("H", "8");bt.put("C", "3");Queue<String> queue = bt.preErgodic();for (String key : queue) {System.out.println(key+"="+bt.get(key));}}
}

中序遍历

我们在4.4中创建的树上，添加前序遍历的API：

:::info
public Queue midErgodic()：使用中序遍历，获取整个树中的所有键
private void midErgodic(Node x,Queue keys)：使用中序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中
:::

实现步骤：

1. 找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树
2. 把当前结点的key放入到队列中;
3. 找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树

代码：

//使用中序遍历，获取整个树中的所有键
public Queue<Key> midErgodic(){Queue<Key> keys = new Queue<>();midErgodic(root,keys);return keys;
}
//使用中序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中
private void midErgodic(Node x,Queue<Key> keys){if (x==null){return;}//1.找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树if (x.left!=null){midErgodic(x.left,keys);}//2.把当前结点的key放入到队列中;keys.enqueue(x.key);//3.找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树if (x.right!=null){midErgodic(x.right,keys);}
}
//测试代码
public class Test {public static void main(String[] args) throws Exception {BinaryTree<String, String> bt = new BinaryTree<>();bt.put("E", "5");bt.put("B", "2");bt.put("G", "7");bt.put("A", "1");bt.put("D", "4");bt.put("F", "6");bt.put("H", "8");bt.put("C", "3");Queue<String> queue = bt.midErgodic();for (String key : queue) {System.out.println(key+"="+bt.get(key));}}
}

后序遍历

我们在4.4中创建的树上，添加前序遍历的API：

:::info
public Queue afterErgodic()：使用后序遍历，获取整个树中的所有键
private void afterErgodic(Node x,Queue keys): 使用后序遍历, 把指定树x中的所有键放入到keys队列中
:::

实现步骤：
找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树
找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树
把当前结点的key放入到队列中;

代码：
//使用后序遍历，获取整个树中的所有键
public Queue afterErgodic(){
Queue keys = new Queue<>();
afterErgodic(root,keys);
return keys;
}
//使用后序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中
private void afterErgodic(Node x,Queue keys){
if (x==null){
return;
}
//1.找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树
if (x.left!=null){
afterErgodic(x.left,keys);
}
//2.找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树
if (x.right!=null){
afterErgodic(x.right,keys);
}
//3.把当前结点的key放入到队列中;
keys.enqueue(x.key);
}
//测试代码
public class Test {
public static void main(String[] args) throws Exception {
BinaryTree<String, String> bt = new BinaryTree<>();
bt.put(“E”, “5”);
bt.put(“B”, “2”);
bt.put(“G”, “7”);
bt.put(“A”, “1”);
bt.put(“D”, “4”);
bt.put(“F”, “6”);
bt.put(“H”, “8”);
bt.put(“C”, “3”);
Queue queue = bt.afterErgodic();
for (String key : queue) {
System.out.println(key+“=”+bt.get(key));
}
}
}

二叉树的层序遍历

所谓的层序遍历，就是从根节点（第一层）开始，依次向下，获取每一层所有结点的值，有二叉树如下：

那么层序遍历的结果是：EBGADFHC
我们在4.4中创建的树上，添加层序遍历的API：
:::info
public Queue layerErgodic()：使用层序遍历，获取整个树中的所有键
:::
实现步骤：

1. 创建队列，存储每一层的结点；
2. 使用循环从队列中弹出一个结点：
   1. 获取当前结点的key；
   2. 如果当前结点的左子结点不为空，则把左子结点放入到队列中
   3. 如果当前结点的右子结点不为空，则把右子结点放入到队列中

代码：

//使用层序遍历得到树中所有的键
public Queue<Key> layerErgodic(){Queue<Key> keys = new Queue<>();Queue<Node> nodes = new Queue<>();nodes.enqueue(root);while(!nodes.isEmpty()){Node x = nodes.dequeue();keys.enqueue(x.key);if (x.left!=null){nodes.enqueue(x.left);}if (x.right!=null){nodes.enqueue(x.right);}}return keys;
}
//测试代码
public class Test {public static void main(String[] args) throws Exception {BinaryTree<String, String> bt = new BinaryTree<>();bt.put("E", "5");bt.put("B", "2");bt.put("G", "7");bt.put("A", "1");bt.put("D", "4");bt.put("F", "6");bt.put("H", "8");bt.put("C", "3");Queue<String> queue = bt.layerErgodic();for (String key : queue) {System.out.println(key+"="+bt.get(key));}}
}

二叉树的最大深度问题

需求：
给定一棵树，请计算树的最大深度（树的根节点到最远叶子结点的最长路径上的结点数）;

上面这棵树的最大深度为4。
实现：
我们在1.4中创建的树上，添加如下的API求最大深度：
:::info
public int maxDepth()：计算整个树的最大深度
private int maxDepth(Node x):计算指定树x的最大深度
:::

实现步骤：

1. 如果根结点为空，则最大深度为0；
2. 计算左子树的最大深度；
3. 计算右子树的最大深度；
4. 当前树的最大深度=左子树的最大深度和右子树的最大深度中的较大者+1

代码：

//计算整个树的最大深度
public int maxDepth() {return maxDepth(root);
}
//计算指定树x的最大深度
private int maxDepth(Node x) {
//1.如果根结点为空，则最大深度为0；
if (x == null) {return 0;
}
int max = 0;
int maxL = 0;
int maxR = 0;
//2.计算左子树的最大深度；
if (x.left != null) {maxL = maxDepth(x.left);
}
//3.计算右子树的最大深度；
if (x.right != null) {maxR = maxDepth(x.right);
}
//4.当前树的最大深度=左子树的最大深度和右子树的最大深度中的较大者+1
max = maxL > maxR ? maxL + 1 : maxR + 1;
return max;
}
//测试代码
public class Test {public static void main(String[] args) throws Exception {BinaryTree<String, String> bt = new BinaryTree<>();bt.put("E", "5");bt.put("B", "2");bt.put("G", "7");bt.put("A", "1");bt.put("D", "4");bt.put("F", "6");bt.put("H", "8");bt.put("C", "3");int i = bt.maxDepth();System.out.println(i);}
}

折纸问题

需求：
请把一段纸条竖着放在桌子上，然后从纸条的下边向上方对折1次，压出折痕后展开。此时 折痕是凹下去的，即折痕突起的方向指向纸条的背面。如果从纸条的下边向上方连续对折2 次，压出折痕后展开，此时有三条折痕，从上到下依次是下折痕、下折痕和上折痕。
给定一 个输入参数N，代表纸条都从下边向上方连续对折N次，请从上到下打印所有折痕的方向 例如：N=1时，打印： down；N=2时，打印： down down up

分析：
我们把对折后的纸张翻过来，让粉色朝下，这时把第一次对折产生的折痕看做是根结点，那第二次对折产生的下折痕就是该结点的左子结点，而第二次对折产生的上折痕就是该结点的右子结点，这样我们就可以使用树型数据结构来描述对折后产生的折痕。
这棵树有这样的特点：

1. 根结点为下折痕；
2. 每一个结点的左子结点为下折痕；
3. 每一个结点的右子结点为上折痕；

实现步骤：

1. 定义结点类
2. 构建深度为N的折痕树；
3. 使用中序遍历，打印出树中所有结点的内容；

构建深度为N的折痕树：

1. 第一次对折，只有一条折痕，创建根结点；
2. 如果不是第一次对折，则使用队列保存根结点；
3. 循环遍历队列：
   1. 从队列中拿出一个结点；
   2. 如果这个结点的左子结点不为空，则把这个左子结点添加到队列中；
   3. 如果这个结点的右子结点不为空，则把这个右子结点添加到队列中；
   4. 判断当前结点的左子结点和右子结点都不为空，如果是，则需要为当前结点创建一个值为down的左子结点，一个值为up的右子结点。

代码：

public class PaperFolding {public static void main(String[] args) {//构建折痕树Node tree = createTree(3);//遍历折痕树，并打印printTree(tree);}//3.使用中序遍历，打印出树中所有结点的内容；private static void printTree(Node tree) {if (tree==null){return;}printTree(tree.left);System.out.print(tree.item+",");printTree(tree.right);}//2.构建深度为N的折痕树；private static Node createTree(int N) {Node root = null;for (int i = 0; i <N ; i++) {if (i==0){//1.第一次对折，只有一条折痕，创建根结点；root = new Node("down",null,null);}else{//2.如果不是第一次对折，则使用队列保存根结点；Queue<Node> queue = new Queue<>();queue.enqueue(root);//3.循环遍历队列：while(!queue.isEmpty()){//3.1从队列中拿出一个结点；Node tmp = queue.dequeue();//3.2如果这个结点的左子结点不为空，则把这个左子结点添加到队列中；if (tmp.left!=null){queue.enqueue(tmp.left);}//3.3如果这个结点的右子结点不为空，则把这个右子结点添加到队列中；if (tmp.right!=null){queue.enqueue(tmp.right);}//3.4判断当前结点的左子结点和右子结点都不为空，如果是，则需要为当前结点创建一个值为down的左子结点，一个值为up的右子结点。if (tmp.left==null && tmp.right==null){tmp.left = new Node("down",null,null);tmp.right = new Node("up",null,null);}}}}return root;}//1.定义结点类private static class Node{//存储结点元素String item;//左子结点Node left;//右子结点Node right;public Node(String item, Node left, Node right) {this.item = item;this.left = left;this.right = right;}}
}