等价无穷小替换

定义

等价无穷小是无穷小之间的一种关系，指的是：在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的。

$$\text{设当 }x\to x_0\text{ 时，}f(x)\text{ 和 }g(x)\text{ 均为无穷小量。}$$
$$\text{若存在正常数 }c\text{，使得 }\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=c\text{，则称 }f(x)\text{ 和 }g(x)\text{ 是等价无穷小量，记作 }f(x)\sim g(x)\text{。}$$
$$通常c为1,即\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=1$$

证明

可能有人想,我都无穷小,大家不都是无穷小,不都等价怎么还有那么多等价无穷小的公式?
其实当然是因为他们相等的只是无穷小那一点罢了, 下面我们看例子:
有一个无穷小替换为:
$$sin(x)\sim x$$
根据无穷小替换有:
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$

一看图,其实就能很明显的看出,在0附近,这里很明显可不是在一点处等价$$sin(x)\sim x$$

我们来这个的看看:
$$1-cos(x)\sim \frac{1}{2}{x}^2$$

$$是吧!很明显!有一大段贴合$$

我们再来看看合在一起的:

我们可以发现只有等价替换的才会在附近有一大段的贴合,不然就只有无穷小那一点
所以才会有:
$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=1$$
因为趋于0,那一段相当于同一段函数嘛,不是1还是什么

引入泰勒公式证明

详细有关泰勒公式的讲解与证明,请看我的另一篇文章 图文证明 泰勒公式
泰勒和等价无穷本该连在一起认识,才能真正明白等价无穷小替换的本质
这是sin(x)的泰勒展开的一部分:
$$\sin (x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots$$
根据定义,我们要证明的是:
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sin(x)}{x}=1$$
就能说明二者是等价无穷小
其实很简单,我们只需要将sin(x) 用其泰勒展开替换即可
$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots }{x}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x(1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\dots )}{x}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }(1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\dots )\\ & =1.\end{array}$$
同理
$$\cos (x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\dots$$
根据定义,我们要证明的是:
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-cos(x)}{\frac{1}{2}{x}^2}=1$$
同理代入:
$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos (x)}{\frac{1}{2}{x}^2}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\dots \right)}{\frac{1}{2}{x}^2}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{x^2}{2!}-\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}-\dots }{\frac{1}{2}{x}^2}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2\left(\frac{1}{2!}-\frac{x^2}{4!}+\frac{x^4}{6!}-\dots \right)}{\frac{1}{2}{x}^2}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{2!}-\frac{x^2}{4!}+\frac{x^4}{6!}-\dots }{\frac{1}{2}}\\ & =1.\end{array}$$

再来看看这个求极限:
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x+\sin (x)}{x^6}$$
$$\sin (x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+...$$
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x+\sin (x)}{x^6}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x+x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+...}{x^6}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}+...}{x^5}$$
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2}{x^5}$$
发现趋于无穷
根据这三个证明我们发现了什么规律呢?
1:大于分母的阶数,最后和分母约分后,自身趋向于0
2:有小于分母的阶数,那部分极限趋于无穷大。(原因是因为,最小阶数被削的只剩下常数,其余部分不用削了,直接全为0即可)

什么时候能换什么时候不能换?

简单直接,不要用部分泰勒去换,我每次换都换一整个泰勒,这样本身就是等价替换不会出错,那泰勒无限长我该怎么办?
也简单根据我们发现的规律第一条,比分母大的阶数我们就不要了,反正后面都会趋于0

而不是简单的记,加减不能换,乘除才能换

参考视频

等价无穷小原理 什么时候可以换/不能换