问题链接:AcWing 853. 有边数限制的最短路
问题描述

分析
bellman-ford算法可以用来解决带负权边的最短路问题，这是相比于DJ算法优秀的地方，但是要注意的是能解决带负权边的最短路问题，如果负权边构成了负权回路，那就有可能求不出来了。
bellman-ford算法的主要思想是做松弛操作，类似于Floyd算法，时间复杂度是O(nm)，需要经过n轮松弛操作，每次遍历m条边。

用dist[]表示1号点到其他点的距离
遍历m条边
如果能用中间y点来更新1号点到点x的距离，则更新
dist[x]=min(dist[x],dist[y]+w)，w为y到x的距离

需要注意的是，我们可以把n轮更新，理解为，1号点经过不超过n条边到达其余点的最短距离
如果需要要求边数为k，则遍历k轮即可
另外我们可以发现，在无环的情况下，1号点到其余点最长需要经过n-1条边
代码如下

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=510,M=10010,INF=0x3f3f3f3f;struct E{int u,v,w;
};
E edge[M];int n,m,k;
int dist[N],backup[N];
int bellman_ford(){memset(dist,0x3f,sizeof dist);dist[1]=0;for(int i=0;i<k;i++){memcpy(backup,dist,sizeof dist);for(int j=0;j<m;j++){int u=edge[j].u;int v=edge[j].v;int w=edge[j].w;dist[v]=min(dist[v],backup[u]+w);}}return dist[n];
}
int main(){cin>>n>>m>>k;for(int i=0;i<m;i++){int u,v,w;scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);edge[i]={u,v,w};}int k=bellman_ford();if(k<INF/2) cout<<k;else puts("impossible");return 0;
}

为了保证最多经过k条边，我们需要用上次更新的边来更新这一次的，所以需要backup数组，可以手动模拟样例理解