概率论与数理统计-第6章 参数估计

6.1 点估计问题概述

一、点估计的概念

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二、评价估计量的标准

  1. 无偏性
  • 定义1:设^ θ(X1,…,Xn)是未知参数θ的估计量,若E(^ θ)=θ,则称^θ为θ的无偏估计量
  • 定理1:设X1,…,Xn,为取自总体X的样本,总体X的均值为μ,方差为σ2,则
    (I)样本均值¯X是μ的无偏估计量;
    (2)样本方差S2是σ2的无偏估计量;
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    &1
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  1. 有效性
    无偏性是有效性的前提。
  • 定义2:
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  • 例题:
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    *1
  1. 相合性(一致性)
    我们不仅希望一个估计量是无偏的,并且具有较小的方差,还希望当样本容量无限增大时,估计量能在某种意义下任意接近未知参数的真值,由此引入相合性(一致性)的评价标准.
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6.2 点估计的常用方法

一、矩估计法

**矩估计法的基本思想是用样本矩估计总体矩.**由大数定律知,当总体的k阶矩存在时,样本的k阶矩依概率收敛于总体的k阶矩.例如,可用样本均值X作为总体均值E(X)的估计量.一般地,记

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  • 总体k阶矩=总体k阶原点矩
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  • 定义1:用相应的样本矩去估计总体矩的方法称为矩估计法.用矩估计法确定的估计量称为矩估计量.相应的估计值称为矩估计值,矩估计量与矩估计值统称为矩估计.

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令¯X=E(X),则
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2.
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令¯X=E(X),则¯X=3-2θ
则矩估计量^θ=(3-¯X)/2,
矩估计值 ^θ=
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先求矩估计量,再求矩估计值。

二、最大似然(可能)估计法

1.最大似然估计法的基本思想

  • 似然函数
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    即求概率
    在这里插入图片描述=fx1(x1)*fx2(x2) *… *fxn(xn)
    即求联合密度函数的函数值

似然函数L(θ)的值的大小意味着该样本值出现的可能性的大小,在已得到样本值x1,x2,…,xn的情况下,则应该选择使L(θ)达到最大值的那个θ作为θ的估计^θ.这种求点估计的方法称为最大似然估计法.
求最大似然估计值,再求最大似然估计量

  • 定义2:最大似然估计值,最大似然估计量,最大似然估计
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  • (离散型)例4:设X ~b(1,p),X1,X2,Xn是取自总体X的一个样本,试求参数p的最大似然估计.
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  • (连续型)例5:设总体X服从指数分布,其概率密度函数为
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置信区间

一、置信区间的概念

定义1设θ为总体分布的未知参数,X1,X2,Xn是取自总体X的一个样本,对给定的数1- a a a(0< a a a<1),若存在统计量
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则称随机区间(_θ,¯θ)为θ的1- a a a双侧置信区间,称1- a a a置信度(可信度)(也称置信水平),又分别称_θ与¯θ为θ的双侧置信下限双侧置信上限.
其中统计量可以计算出

  • 性质:
    可靠度:
    要求区间以很大的可能性包含θ即在这里插入图片描述
    精度:
    估计的精度要尽可能高,即区间的长度要尽可能小,或能体现此要求的其它准则。
    在保证可靠度的条件下,尽量提高精度

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正态总体的置信区间

一、单正态总体均值的置信区间

  1. 设总体X~N(μ,σ2),其中σ2已知,而μ为未知参数,X1,X2,Xn是取自总体X的一个样本.
    均值μ的1-a的置信区间为
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    (考)例1
    在这里插入图片描述
  2. 设总体X~N(4,σ2),其中μ,σ2未知,X1,X2,…,Xn是取自总体X的一个样本.
    此时可用σ2的无偏估计S2代替σ2,构造枢轴变量
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    在这里插入图片描述
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    在这里插入图片描述

均值μ的1-a的置信区间为
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三、单正态总体方差的置信区间

设总体X~N(μ,σ2),其中μ,σ2未知,X1,X2,…,Xn是取自总体X的一个样本.求方差σ2的置信度为1-a的置信区间.σ2的无偏估计为S2
有定理得
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小结

单正态总体的抽样分布的三个结论

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