二叉树、堆和堆排序（优先队列）-编程知识

前言：

本章会讲解二叉树及其一些相关练习题，和堆是什么。

二叉树：

二叉树的一些概念：

一棵二叉树是有限节点的集合，该集合可能为空。二叉树的特点是每一个节点最多有两个子树，即二叉树不存在度大于2的节点。且二叉树子树有左右之分，子树顺序不能颠倒。

还有两种特殊的二叉树，完全二叉树和满二叉树。

满二叉树是就是没有度为1的节点。所以当有k层时，它有2^k -1个节点。

完全二叉树有度为1的节点且是连续的。

所以我们可以根据节点的个数计算树的高度。

二叉树的性质：

若规定根节点层数是1，则一颗非空二叉树第i层上最多有2^(i-1)个节点。

若规定根节点层数是1，则深度为h的二叉树的最大节点数为2^h-1个节点。

对任何一颗二叉树如果度为0的节点数是n0，度为2的节点数是n2，则有n0=n2+1。

若规定根节点层数为1，则有n个节点的满二叉树深度为h=LogN。

在具有2n个节点的完全二叉树中，叶子结点个数为n。

练习题：

二叉树的最大深度：

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思路：整棵树的高度 = （左子树的高度 + 右子树的高度）的最大值 + 1。

其实也就是求树的高度，这里我们利用递归来实现：

class Solution {public int maxDepth(TreeNode root) {if (root == null) {return 0;}return Math.max(maxDepth(root.left), maxDepth(root.right)) + 1;}
}

判断是否为平衡二叉树：

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这里需要用到二叉树的最大深度来完成：

class Solution {public boolean isBalanced(TreeNode root) {if (root == null) {return true;}return treeHeigth(root) >= 0;//时间复杂度：O（n）}public int treeHeigth(TreeNode root) {if (root == null) {return 0;}int leftHeigth = treeHeigth(root.left);if (leftHeigth < 0) {return -1;}int rightHeigth = treeHeigth(root.right);if (leftHeigth >= 0 && rightHeigth >= 0&& Math.abs(leftHeigth - rightHeigth) <= 1) {return Math.max(leftHeigth, rightHeigth) + 1;} else {return -1;}}
}

相同的树：

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class Solution {public boolean isSameTree(TreeNode p, TreeNode q) {if (p == null && q != null || p != null && q == null) {return false;}//此时，要么两个都为空 要么两个都不为空if (p == null && q == null) {return true;}//此时两个都不为空if (p.val != q.val) {return false;}//p != null && q != null && p.val == q.valreturn isSameTree(p.left, q.left) && isSameTree(p.right, q.right);//时间复杂度为min（n,m）}
}

另一棵树的子树：

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这里我们需要用到判断两树是否相同的代码：

class Solution {public boolean isSubtree(TreeNode root, TreeNode subRoot) {//可能会有空的情况if (root == null || subRoot == null) {return false;}//类似于BF算法//1.是不是和根节点相同if (isSameTree(root, subRoot)) {return true;}//2.判断是不是root的左子树if (isSubtree(root.left, subRoot)){return true;}//3.右子树if (isSubtree(root.right, subRoot)) {return true;}//4.返回return false;//时间复杂度 O(M * N)}public boolean isSameTree(TreeNode p, TreeNode q) {if (p == null && q != null || p != null && q == null) {return false;}//此时，要么两个都为空 要么两个都不为空if (p == null && q == null) {return true;}//此时两个都不为空if (p.val != q.val) {return false;}//p != null && q != null && p.val == q.valreturn isSameTree(p.left, q.left) && isSameTree(p.right, q.right);//时间复杂度为min（n,m）}
}

翻转二叉树：

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class Solution {public TreeNode invertTree(TreeNode root) {if (root == null) {return null;}TreeNode tmp = root.left;root.left = root.right;root.right = tmp;invertTree(root.left);invertTree(root.right);return root;}
}

对称二叉树：

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class Solution {public boolean isSymmetric(TreeNode root) {//根的值一样//1.左树的左 和 右树的右//2.左树的右 和 右树的左if (root == null) {return true;}return isSymmetricChild(root.left, root.right);}private boolean isSymmetricChild(TreeNode leftTree, TreeNode rightTree) {if (leftTree == null && rightTree != null || leftTree != null && rightTree == null) {return false;}if (leftTree == null && rightTree == null) {return true;}if (leftTree.val != rightTree.val) {return false;}return isSymmetricChild(leftTree.left, rightTree.right) && isSymmetricChild(leftTree.right, rightTree.left);}
}

求树的第K层节点个数：

求树的第k层节点个数，如果不用层序遍历，我们可以使用递归。

思路：整棵树第k层多少个节点 = 左子树的第k-1层节点 + 右子树的第k-1层节点。

A的第3层 = A左树的第2层 + A右树的第2层

int CountLevel(TreeNode root, int k) {if (root == null) {return 0;}if (k == 1) {return 1;}return CountLevel(root.left, k - 1) + CountLevel(root.right, k - 1);
}

找节点：

我们要找一个节点的位置，找到返回它的地址，否则返回null。

TreeNode find(TreeNode root, char val) {if (root == null) {return null;}if (root.val = val) {return root;}TreeNode ret1 = find(root.left, val);if (ret1 != null) {return ret1;//不去右边了，因为找到了}TreeNode ret2 = find(root.right, val);if (ret2 != null) {return ret2;}return null;
}

根据树的前序遍历构建一棵树：

oj链接：二叉树遍历__牛客网

class TreeNode {public char val;public TreeNode left;public TreeNode right;public TreeNode(char val) {this.val = val;}
}// 注意类名必须为 Main, 不要有任何 package xxx 信息
public class Main {public static int i = 0;public static void main(String[] args) {Scanner in = new Scanner(System.in);// 注意 hasNext 和 hasNextLine 的区别while (in.hasNextLine()) { // 注意 while 处理多个 caseString str = in.nextLine();TreeNode root = creatNode(str);inorder(root);}}public static TreeNode creatNode(String str) {//1.遍历str// for (int i = 0; i < str.length(); i++) {//     char ch = str.charAt(i);// }TreeNode root = null;if (str.charAt(i) != '#') {root = new TreeNode(str.charAt(i));i++;root.left = creatNode(str);root.right = creatNode(str);} else {i++;}//2.根据字符串创建二叉树//3.返回根节点return root;}public static void inorder(TreeNode root) {if (root == null) {return ;}inorder(root.left);System.out.print(root.val + " ");inorder(root.right);}}

判断是否为完全二叉树：

12节（2：44）。

我们利用层序遍历，每次都把所有节点加入队列，包括null。之后遇到null就跳出，之后再判断（此时如果是完全二叉树，则队列中所有元素为null；否则则不是完全二叉树）。

boolean isCompleteTree(TreeNode root) {if (root == null) {return true;}Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();queue.offer(root);while (!queue.isEmpty()) {TreeNode cur = queue.poll();if (cur != null) {queue.offer(cur.left);queue.offer(cur.right);} else {break;}}//判断队列中是否有非空元素while (!queue.isEmpty()) {TreeNode cur = queue.peek();if (cur == null) {queue.poll();} else {return false;}}return true;
}

这里我们使用队列的性质来完成。

层序遍历：

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class Solution {public List<List<Integer>> levelOrder(TreeNode root) {//利用队列List<List<Integer>> link = new ArrayList<>();Queue<TreeNode> queue = new ArrayDeque<>();if (root != null) {queue.offer(root);}while(!queue.isEmpty()) {int n = queue.size();List<Integer> level = new ArrayList<>();for (int i = 0; i < n; i++) {TreeNode node = queue.poll();level.add(node.val);if (node.left != null) {queue.add(node.left);}if (node.right != null) {queue.add(node.right);}}link.add(level);}return link;}
}

根据前序遍历和中序遍历构建二叉树：

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class Solution {public int preIndex;public TreeNode buildTree(int[] preorder, int[] inorder) {return buildTreeChild(preorder, inorder, 0, inorder.length - 1);}private TreeNode buildTreeChild(int[] preorder, int [] inorder, int inbegin, int inend) {if (inbegin > inend) {return null;}TreeNode root = new TreeNode(preorder[preIndex]);int rootIndex = findIndexRoot(inorder, inbegin, inend, preorder[preIndex]);if (rootIndex == -1) {return null;}preIndex++;root.left = buildTreeChild(preorder, inorder, inbegin, rootIndex - 1);root.right = buildTreeChild(preorder, inorder, rootIndex + 1, inend);return root;}private int findIndexRoot(int[] inorder, int inbegin, int inend, int target) {while (inbegin <= inend) {if (inorder[inbegin] == target) {return inbegin;}inbegin++;}return -1;}
}

根据中序遍历和后序遍历构建二叉树：

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class Solution {public int endIndex;public TreeNode buildTree(int[] inorder, int[] postorder) {endIndex = postorder.length - 1;return buildTreeChild(inorder, postorder, 0, postorder.length - 1);}private TreeNode buildTreeChild(int[] inorder, int[] postorder, int begin, int end) {if (begin > end) {return null;}TreeNode root = new TreeNode(postorder[endIndex]);int rootIndex = findTreeNode(inorder, begin, end, postorder[endIndex]);if (rootIndex < 0) {return null;}endIndex--;//这里要先创建右树root.right = buildTreeChild(inorder, postorder, rootIndex + 1, end);root.left = buildTreeChild(inorder, postorder, begin, rootIndex - 1);return root;}private int findTreeNode(int[] inorder, int begin, int end, int key) {while (begin <= end) {if (inorder[begin] == key) {return begin;}begin++;}return -1;}
}

前序遍历非递归：

此时我们借助栈来完成。

void preOrderNor(TreeNode root) {if (root == null) {return;}Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();TreeNode cur = root;while (cur != null || !stack.isEmpty()) {while (cur != null) {stack.push(cur);System.out.print(cur.val + " ");cur = cur.left;}TreeNode top = stack.pop();cur = top.right;} 
}

后序遍历非递归：

void postOrderNor(TreeNode root) {if (root == null) {return;}Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();TreeNode cur = root;while (cur != null || !stack.isEmpty()) {while (cur != null) {stack.push(cur);cur = cur.left;}TreeNode top = stack.peek();TreeNode prev = null;//方便记录if (top.right == null || top.right == prev) {System.out.print(top.val + " ");stack.pop();prev = top;} else {cur = top.right;}}
}

堆（优先级队列）：

堆的概念：

我们可以将数组想成一个二叉树，堆的逻辑结构是一颗完全二叉树，物理结构是一个数组。我们可以得出左右孩子和父节点的数学关系。

建立堆，可以分为两种，一种建立小堆，一种建立大堆。我们利用向下调整算法来建立堆。

向下调整算法：

我们可以将数组想象成二叉树，但是向下调整算法必须保证左右树必须已经建好堆，所以我们从数组的最后开始建堆，也就是从最后一颗子树开始，根据公式，最后一棵树的位置(下标)就是(n - 1 - 1) / 2，之后逐个向下调整并建好堆。接下来给出该算法：

public class TestHeap {public  int[] elem;public  int usedSize;public TestHeap() {this.elem = new int[10];}public void initElem(int[] array) {for (int i = 0; i < array.length; i++) {elem[i] = array[i];usedSize++;}}public void createHeap() {for (int parent = (usedSize - 1 - 1) / 2; parent >= 0; parent--) {AdjustDown(parent, usedSize);}}private void AdjustDown(int parent, int len) {int child = parent * 2 + 1;//建大堆while (child < len) {if (elem[child] < elem[child + 1] && child + 1 < len) {child++;}if (elem[parent] < elem[child]) {//交换swap(parent, child);parent = child;child = parent * 2 + 1;} else {break;}}}private void swap(int a, int b) {int tmp = elem[a];elem[a] = elem[b];elem[b] = tmp;}}

优先级队列（PriorityQueue）：

其实就是堆，但是我们还是要先了解一下什么是优先级队列。

优先级队列，有些情况下，操作的数据可能带有优先级，一般出队列时，可能需要优先级高的元素先出队列。此时一般的队列显然不合适。比如玩手机时，有人打来电话，系统就应该优先处理打来的电话。

这种数据结构应该提供两个最基本的操作，一个是返回最高优先级对象，一个是添加新的对象。这就被称为优先级队列，优先级队列底层是一个完全二叉树。

这里优先级队列底层是使用数组实现的，操作规则是使用队列来完成的。

不能插入null对象，可以插入任意多个元素，内部可以实现自动扩容。

当我们进行删除优先级队列元素时，需要从队列头部开始删除，如果从尾部开始删除，则相当于向上建堆，向上调整建堆时间复杂度会很大，所以我们进行头删。

public static void main(String[] args) {PriorityQueue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>();//堆priorityQueue.offer(10);priorityQueue.offer(5);priorityQueue.offer(6);System.out.println(priorityQueue.peek());//当我们实例化一个 priorityQueue 之后，默认是一个小根堆
}

此时队头元素为5，可以发现默认是小堆。所以我们如何将其改为大堆呢？

构建大堆（Comparable接口）：

我们不能随意向其中插入数据，因为我们其实会进行比较。举个例子：

class Student {public int age;public String name;public Student(int age, String name) {this.age = age;this.name = name;}@Overridepublic String toString() {return "Student{" +"age=" + age +", name='" + name + '\'' +'}';}
}public class Test2 {public static void main(String[] args) {PriorityQueue<Student> priorityQueue = new PriorityQueue<>();priorityQueue.offer(new Student(22, "wowo"));priorityQueue.offer(new Student(21, "wda"));}
}

此时报错，因为没有指定类型去建堆。所以我们其实可以想到可能其中使用了Comparable接口。

所以可以发现当我们使用无参构造器时，默认优先队列的容量是11。而且可以发现其使用了比较器。

看一看出，里面重载了构造方法，所以我们可以传入比较器来完成效果。比如此时我们是一个小堆，第一个元素是10，之后插入5：

我们再观察Integer中的Comparable接口中的compareTo方法。

也就是说，此时我们将返回值改变即可将小根堆改为大根堆。

public static void main(String[] args) {Imp imp = new Imp();PriorityQueue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>(imp);//使用自己的比较器//堆priorityQueue.offer(10);priorityQueue.offer(5);
}

class  Imp implements Comparator<Integer> {@Overridepublic int compare(Integer o1, Integer o2) {return o1.compareTo(o2);}
}

所以我们可以通过自己实现的比较器来构建大根堆。

观察源码：

可以看到，当数组容量小于64时，每次增加2；当容量大于64时，每次扩容1.5倍。

堆排序：

Java实现（偷懒方法）：

有一种排序叫做堆排序，我们用堆排序第一步先构建堆，如果是升序则构建大堆，降序构建小堆。我们用向下调整算法时，前提是左右两棵子树已经满足堆，所以我们可以先将数组在脑子中构建成完全二叉树，之后找到不是叶子节点的倒数第一棵树，之后利用向下调整算法将这一棵树调整为堆。之后循环将每一棵树调整为堆。

以上是小堆的实现。接下来我们用要升序，所以要用大堆。

public class TestHeap {public  int[] elem;public  int usedSize;public TestHeap() {this.elem = new int[10];}public void initElem(int[] array) {for (int i = 0; i < array.length; i++) {elem[i] = array[i];usedSize++;}}public void createHeap() {for (int parent = (usedSize - 1 - 1) / 2; parent >= 0; parent--) {AdjustDown(parent, usedSize);}}private void AdjustDown(int parent, int len) {int child = parent * 2 + 1;//建大堆while (child < len) {if (elem[child] < elem[child + 1] && child + 1 < len) {child++;}if (elem[parent] < elem[child]) {//交换swap(parent, child);parent = child;child = parent * 2 + 1;} else {break;}}}private void swap(int a, int b) {int tmp = elem[a];elem[a] = elem[b];elem[b] = tmp;}//添加元素public void push(int val) {//判断满没满if (isFull()) {//扩容elem = Arrays.copyOf(elem, 2 * elem.length);}elem[usedSize] = val;//向上调整setUp(usedSize);usedSize++;}public boolean isFull() {return usedSize == elem.length;}private void setUp(int child) {int parent = (child - 1) / 2;while (parent >= 0) {if (elem[parent] < elem[child]) {//交换swap(parent, child);child = parent;parent = (child - 1) / 2;} else {break;}}}//删除元素public int pop() {//这里默认头删if (empty()) {return -1;}//直接把第一个和最后一个交换，之后调整int oldVal = elem[0];swap(0, usedSize - 1);usedSize--;AdjustDown(0, usedSize);return oldVal;}public boolean empty() {return usedSize == 0;}
}

class  Imp implements Comparator<Integer> {@Overridepublic int compare(Integer o1, Integer o2) {return o2.compareTo(o1);}
}public class Test2 {public static void main(String[] args) {int[] arr = {1,9,10,11,0,-1,0};Imp imp = new Imp();PriorityQueue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>(imp);//插入数据for (int i = 0; i < arr.length; i++) {priorityQueue.offer(arr[i]);}//此时大堆已经构建好for (int i = 0; i < arr.length; i++) {arr[arr.length - i - 1] = priorityQueue.poll();}for (int i = 0; i < arr.length; i++) {System.out.print(arr[i] + " ");}}
}

因为有优先级队列的关系，不需要逐个交换，我们只需要每次将大堆的堆顶元素弹出放在数组最后以一个位置即可。

C语言方法：

void Swap(int* a, int* b)
{int tmp = *a;*a = *b;*b = tmp;
}void AdjustDown(int* a, int n,int root)
{int parent = root;//相当于下标int child = parent * 2 + 1;while (child<n){//if (child+1 < n && a[child + 1] < a[child])//{//这里看哪一个孩子更小,parent交换哪一个//    //判断child+1是判断还有没有右孩子//    //没有就跳过//    child ++;//}if (child + 1 < n && a[child + 1] > a[child]){//哪个大交换哪个child++;}if (a[child] > a[parent]){//这里进行交换Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{//因为前提已经是左子树和右子树都满足堆了break;}}
}void HeapSort(int* a, int n)
{//建堆for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; --i){//找到最后一棵子树//先找到最后一个叶子结点,之后利用公式找到它的父节点//之后--,到堆顶为止AdjustDown(a, n, i);}int end = n - 1;while (end > 0){Swap(&a[0],&a[end]);//注意这里并没有被已经排序过的数据传入//因为原来是传n,现在是n-1AdjustDown(a, end,0);end--;}Printf(a, n);
}