力扣刷题之旅：高阶篇（五）—— 网络流算法：最大流与最小割-编程知识

力扣刷题之旅：高阶篇（五）—— 网络流算法：最大流与最小割

力扣（LeetCode）是一个在线编程平台，主要用于帮助程序员提升算法和数据结构方面的能力。以下是一些力扣上的入门题目，以及它们的解题代码。

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引言

在算法领域中，网络流算法是一个重要且实用的工具，尤其在处理资源分配、运输优化等问题上表现出色。最大流和最小割是网络流算法中的两个核心概念，它们在很多实际应用中都有着广泛的使用。

一、最大流与最小割的基本概念

在一个有向图中，如果存在一个源点s和一个汇点t，以及每条边上都有一个非负容量限制，那么这样的图就被称为一个流网络。最大流问题是在这样的流网络中寻找从源点s到汇点t可以传输的最大流量。而最小割问题则是寻找一个割集，使得割集中所有边的容量之和最小，同时确保源点s和汇点t在不同的子图中。

二、力扣上的题目

题目描述：“最大流”（Maximum Flow）

给定一个有向图，其中每个节点表示一个地点，每条边表示两个地点之间的连接，边上的权重表示该连接的容量。请找出从源点s到汇点t的最大流量。

输入格式：

第一行包含四个整数n、m、s、t，分别表示节点的数量、边的数量、源点和汇点。
接下来m行，每行包含三个整数u、v、c，表示从节点u到节点v有一条容量为c的边。

输出格式：

输出一个整数，表示从源点s到汇点t的最大流量。

示例：

输入：

输出：

解释：

上述输入表示一个有向图，其中节点1是源点，节点4是汇点。从节点1到节点4的最大流量为2，可以通过两条路径实现：1→2→3→4和1→4。

三、解题代码

以下是使用Edmonds-Karp算法解决最大流问题的Python代码示例：

from queue import Queue  def edmonds_karp(graph, source, sink):  # 初始化剩余容量和流量  residual_graph = {u: {v: c for v, c in graph[u].items()} for u in graph}  flow = {u: 0 for u in graph}  # BFS寻找增广路径  def bfs():  visited = {u: False for u in graph}  parent = {u: None for u in graph}  path_flow = {u: 0 for u in graph}  queue = Queue()  queue.put(source)  visited[source] = True  path_flow[source] = float('inf')  while not queue.empty():  u = queue.get()  for v, c in residual_graph[u].items():  if c > 0 and not visited[v]:  visited[v] = True  parent[v] = u  path_flow[v] = min(path_flow[u], c)  if v == sink:  return parent, path_flow  queue.put(v)  return None, None  # 更新流量和剩余容量  def update_flow(parent, path_flow):  u = sink  while u != source:  v = parent[u]  residual_graph[v][u] += path_flow[sink]  residual_graph[u][v] -= path_flow[sink]  flow[v] += path_flow[sink]  u = v  # 主循环  while True:  parent, path_flow = bfs()  if parent is None:  break  update_flow(parent, path_flow)  return flow[sink]  # 示例输入与输出  
if __name__ == "__main__":  n, m, source, sink = map(int, input().split())  graph = {u: {} for u in range(1, n+1)}  for _ in range(m):  u, v, c = map(int, input().split())  graph[u][v] = c  print(edmonds_karp(graph, source, sink))