C++【AVL树】-编程知识

1.AVL树（高度平衡搜索二叉树）定义

1.1平衡因子（Balance Factor简写成bf）

1.2avl树的定义

2.AVL树插入的基本操作

2.1逻辑抽象图

2.2插入流程

2.3左单旋

2.4右单旋

2.5右左双旋

2.6左右双旋

3.AVL树的检验技巧

3.1、检验依据

3.2、检验方法

3.3、AVL树的性能

1.AVL树（高度平衡搜索二叉树）定义

平衡二叉树全称叫做 平衡二叉搜索（排序）树，简称 AVL树。英文：Balanced Binary Tree （BBT），注：二叉查找树(BST)

由 前苏联 的两位数学家：G.M.Adelson-Velskii 和 E.M.Landis 共同提出，首次出现在 1962 发布的论文《An algorithm for the organization of information》中。

AVL树在二叉搜索树的的基础上增加了两个特性：

它的左右子树都是 AVL 树
左右子树的高度之差（平衡因子）的绝对值不超过 1

1.1平衡因子（Balance Factor简写成bf）

定义：节点的右子树减去左子树的高度，在 AVL树中，所有节点的平衡因子都必须满足： -1<=bf<=1;

1.2avl树的定义

AVL 树在原 二叉搜索树 的基础上添加了 平衡因子 bf 以及用于快速向上调整的 父亲指针 parent，所以 AVL 树是一个三叉链结构：

上图我们描述了一棵树的构建每个节点应该具备的属性，我们要想构建一颗avl树，我们就要以上图为基准，先创建节点，代码如下：

template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode(const pair<K, V> kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv), _bf(0){}AVLTreeNode* _left;AVLTreeNode* _right; AVLTreeNode* _parent;std::pair<K, V>_kv;int bf; //平衡因子};

然后就是组织的过程，我们只要创建根节点，然后增删改查就OK了，我们要注意平衡因子的约束，比如我们要按顺序插入1 2 3 4 5 6有了平衡因子的约束，插入题如下所示：

由上图可知，同样的结点，由于插入方式不同导致树的高度也有所不同。特别是在带插入结点个数很多且正序的情况下，会导致二叉树的高度是O(N)，而AVL树就不会出现这种情况，树的高度始终是O(lgN).高度越小，对树的一些基本操作的时间复杂度就会越小。这也就是我们引入AVL树的原因。

2.AVL树插入的基本操作

插入节点的基本操作跟搜索二叉树差不多，但是需要收到平衡因子的约束，下面是插入过程平衡因子的注意事项；

新增在左，parent平衡因子减减；
新增在右，parent平衡因子加加；
更新后parent平衡因子 == 0，说明parent所在的子树高度不变，不会影响祖先，不用再继续沿着root的路径网上更新；
更新后parent平衡因子 == 1 or -1，说明parent所在的子树的高度变化，会影响祖先，需要继续沿着到root往上更新；
更新后parent平衡因子 == 2 or -2，说明parent所在的子树高度变化且不平衡，对parent所在的子树进行旋转，让他平衡；
更新到root节点；

2.1逻辑抽象图

AVL 树的 旋转操作 比较复杂，需要考虑多种形状、多种情况，为了方便理解，将部分节点视为一个整体（抽象化），主要看高度 h进行旋转操作，可以得出下面这个抽象图

通过逻辑图可以方便我们对avl树插入的情况做清晰的分析。

2.2插入流程

判断根是否为空，如果为空，则进行第一次插入，成功后返回 true
找到合适的位置进行插入，如果待插入的值比当前节点值大，则往右路走，如果比当前节点值小，则往左路走
判断父节点与新节点的大小关系，根据情况判断链接至左边还是右边
更新平衡因子，然后判断是否需要进行旋转调整高度

代码框架如下，具体旋转情况具体分析实现

//插入节点
bool Insert(const std::pair<K, V> kv)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}//易错点：没有提前记录父亲Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}elsereturn false;}//创建新节点，链接cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;cur->_parent = parent;}else{parent->_left = cur;cur->_parent = parent;}//根据平衡因子判断是否需要旋转while (parent){//更新平衡因子if (parent->_right == cur)parent->_bf++;elseparent->_bf--;//判断是否需要调整//……}return true;
}

2.3左单旋

左单旋的适用场景如下：在根的右子树中出现平衡因子为 1 的情况下，仍然往右侧插入节点，插入后会导致右子树中某个节点平衡因子值为 2 ，此时就需要使用左单旋降低高度。

在Z的右枝插入节点会导致z的平衡因子++，R的平衡因子会增加成2，则不满足avl树的要求，我们就要对R节点左旋，具体代码如下：

//左单旋
void RotateL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;//先将 subR 的左孩子移交给父亲parent->_right = subRL;if (subRL != nullptr)subRL->_parent = parent;Node* pparent = parent->_parent;//易错点：忘记更改原父亲的链接关系subR->_left = parent;parent->_parent = subR;//再将父亲移交给 subR，subR 成为新父亲if (parent == _root){//如果原父亲为根，那么此时需要更新 根subR->_parent = nullptr;_root = subR;}else{//单纯改变链接关系if (pparent->_right == parent)pparent->_right = subR;elsepparent->_left = subR;subR->_parent = pparent;}//更新平衡因子parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

旋转其实就是改变链接过程，更改的链接示意图如下

助记：搜索二叉树的右数>左树则 1.parent->right = cur->left 2.cur->left = parent

注意： subRL 可能是 nullptr，在改变其链接关系时，需要判断一下，避免空指针解引用行为；parent 可能是根节点，subR 在链接后，需要更新根节点；左单旋后，parent、subR 的平衡因子都可以更新为 0，此时是很平衡的

2.4右单旋

右单旋的适用场景如下：在根的左子树中出现平衡因子为 1 的情况下，仍然往左侧插入节点，插入后会导致左子树中某个节点平衡因子值为 2 ，此时就需要使用右单旋降低高度

右单旋的场景与左单旋如出一辙，不过方向不同而已

右单选的代码，复制左单旋改变链接指向就行

//右单旋
void RotateR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;//先将 subL 的右孩子移交给父亲parent->_left = subLR;if (subLR != nullptr)subLR->_parent = parent;Node* pparent = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;//再将父亲移交给 subL，subL 成为新父亲if (parent == _root){//如果原父亲为根，那么此时需要更新 根subL->_parent = nullptr;_root = subL;}else{//单纯改变链接关系if (pparent->_right == parent)pparent->_right = subL;elsepparent->_left = subL;subL->_parent = pparent;}//更新平衡因子parent->_bf = subL->_bf = 0;
}

助记：搜索二叉树的右数>左树则 1.parent->left = cur->right 2.cur-> right = parent

注意： subLR 可能是 nullptr，在改变其链接关系时，需要判断一下，避免空指针解引用行为；parent 可能是根节点，subL 在链接后，需要更新根节点；右单旋后，parent、subLR 的平衡因子都可以更新为 0，此时是很平衡的

2.5右左双旋

当值插入右子树的右侧时，可能引发左单旋，当值插入左子树的左侧时，则可能引发右单旋

如果插入的是右子树的左侧或左子树的右侧时，则可能引发双旋

比如插入右子树的左侧时，单单凭借左单旋无法解决问题，需要先进行右单旋，再进行左单旋才能降低高度，这一过程就成为双旋（右左双旋）

//右左双旋
void RotateRL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int BF = subRL->_bf;//先右单旋RotateR(subR);//再左单旋RotateL(parent);//根据不同的情况更新平衡因子if(BF == 0){parent->_bf = subR->_bf = 0;}else if (BF == 1){parent->_bf = -1;subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}else if (BF == -1){parent->_bf = 0;subR->_bf = 1;subRL->_bf = 0;}else{//非法情况std::cerr << "此处的平衡因子出现异常!" << std::endl;assert(false);	//直接断言报错}
}

右左双旋 的抽象图旋转流程如下（动图）

注：双旋部分的动图省略了部分细节，着重展现高度降低的现象

右左双旋逻辑：

确定 parent、subR、subRL
将 subRL 的右子树托付给 subR，左子树托付给 parent
subRL 向上提，整体高度下降
需要特别注意平衡因子的调整
双旋的平衡因子调整需要分类讨论：
情况一：新节点插入至右子树左侧后，subRL 平衡因子变为 0，此时树变得更加平衡了，因此 parent、subR、subRL 三者的平衡因子都为 0

情况二：新节点插入至右子树的左侧后，subRL 平衡因子变为 -1，证明新节点插入至 subRL 的左边，并且右边没有东西，旋转后，将新节点托付给 parent 后，parent 变得平衡了，但 subR 因没有分到节点，因此导致其左侧失衡，平衡因子变为 1，subRL 平衡，为 0（这其实就是动图展示的情况）

情况三：新节点插入至右子树的左侧后，subRL 平衡因子变为 1，证明新节点插入至 subRL 的右边，并且左边没有东西，旋转后，parent 没有分到节点，subR 分到了，subRL 为平衡，因此 parent 的平衡因子为 -1，subR 和 subRL 的平衡因子都是 0

经过这样分析后，就能得到代码中的判断逻辑

注意：先要右单旋，才左单旋；平衡因子的更新需要分类讨论

2.6左右双旋

当节点插入至 左子树的右侧 时，会触发 左右双旋，需要先进行左单旋，再进行右单旋才能降低高度

//左右双旋
void RotateLR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int BF = subLR->_bf;//先左单旋RotateL(subL);//再右单旋RotateR(parent);//根据不同的情况更新平衡因子if (BF == 0){parent->_bf = subL->_bf = 0;}else if (BF == 1){parent->_bf = 0;subL->_bf = -1;subLR->_bf = 0;}else if (BF == -1){parent->_bf = 1;subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else{//非法情况std::cerr << "此处的平衡因子出现异常!" << std::endl;assert(false);	//直接断言报错}
}

左右双旋 的旋转流程如下图所示（动图）

左右双旋逻辑：

确定 parent、subL、subLR
将 subLR 的右子树托付给 parent，左子树托付给 subL
subLR 向上提，整体高度下降
需要特别注意平衡因子的调整
调整逻辑与右左双旋差不多

情况一：新节点插入至左子树右侧后，subLR 平衡因子变为 0，此时树变得更加平衡了，因此 parent、subL、subLR 三者的平衡因子都为 0

情况二：新节点插入至左子树的右侧后，subLR 平衡因子变为 -1，证明新节点插入至 subLR 的左边，并且右边没有东西，旋转后，将新节点托付给 subL 后，subL 变得平衡了，但 parent 因没有分到节点，因此导致其右侧失衡，平衡因子变为 1，subLR 平衡，为 0

情况三：新节点插入至左子树的右侧后，subLR 平衡因子变为 1，证明新节点插入至 subLR 右边，并且左边没有东西，旋转后，subL 没有分到节点，parent 分到了，subLR 为平衡，因此 subL 的平衡因子为 -1，parent 和 subLR 的平衡因子都是 0（动图中演示的就是情况三）

总的来说，双旋需要慎重考虑平衡因子的调整

小结：旋转情况：

插入至 右右 时，左单旋
插入至 左左 时，右单旋
插入至 右左 时，右左双旋
插入至 左右 时，左右双旋

3.AVL树的检验技巧

3.1、检验依据

如何检验自己的 AVL 树是否合法？答案是通过平衡因子检查

平衡因子反映的是左右子树高度之差，计算出左右子树高度之差与当前节点的平衡因子进行比对，如果发现不同，则说明 AVL 树非法或者如果当前节点的平衡因子取值范围不在 [-1, 1] 内

3.2、检验方法

统计 二叉树子树高度 很简单，只需要在 检验合法性函数 中调用即可

//验证是否为 AVL 树
bool IsAVLTree()
{return _IsAVLTree(_root);
}//获取高度
size_t getHeight()
{return _getHeight(_root);
}bool _IsAVLTree(Node* root)
{if (root == nullptr)return true;//计算左右子树的高度size_t leftTreeH = _getHeight(root->_left);size_t rightTreeH = _getHeight(root->_right);//计算差值int diff = rightTreeH - leftTreeH;if (diff != root->_bf || root->_bf < -1 || root->_bf > 1){std::cerr << "当前节点出现了问题: " << root->_kv.first<< " | " << root->_bf << std::endl;return false;}return _IsAVLTree(root->_left) && _IsAVLTree(root->_right);
}size_t _getHeight(Node* root)
{if (root == nullptr)return 0;size_t leftH = _getHeight(root->_left);size_t rightH = _getHeight(root->_right);return 1 + std::max(leftH, rightH);
}

通过一段简单的代码，随机插入 10000 个节点，判断 是否合法 及当 AVL 树的高度

void AVLTreeTest2()
{srand((size_t)time(NULL));AVLTree<int, int> av;for (int i = 0; i < 10000; i++){int val = rand() % 10000 + i;av.Insert(val, val);}cout << "检查AVL树: " << av.IsAVLTree() << endl << "高度为：" << av.getHeight() << endl;
}