【Simulink系列】——动态系统仿真之连续系统线性连续系统-编程知识

【Simulink系列】——动态系统仿真之连续系统线性连续系统

声明：本系列博客参考有关专业书籍，截图均为自己实操，仅供交流学习！

一、连续系统定义

连续系统输出在时间上连续变化，而非间隔采样取值，满足以下条件：

①输出连续变化，变化的间隔为无穷小量。

②数学描述上，存在输入或输出的微分项。

③系统具有连续状态。离散系统的状态为时间的离散函数，而连续系统为时间的连续函数。

设连续函数的输入变量为u(t)，其中t为连续取值的时间变量，系统的输出为y(t)，最一般的数学描述为：

$y(t)=f(u(t), t)$

注：这里系统的输入变量与输出变量既可以是标量，也可以是向量。

也可以使用连续系统的微分方程描述（左微分方程，右输出方程）：

$\begin{aligned}&\dot{x}\big(t\big)=f\big(x\big(t\big),u\big(t\big),t\big)\\&y\big(t\big)=g\big(x\big(t\big),u\big(t\big),t\big)\end{aligned}$

这里的x(t)， $\dot{x}$ 分别是连续系统的状态变量和状态变量的微分。

二、连续系统Simulink仿真

蹦极跳系统模型。在下落过程中，人几乎处于完全失重状态，自由落体时人的位置由下式确定（后两项为经验阻力项，x为下落距离）：

$m\ddot{x}=mg-a_{1}\dot{x}-a_{2}|\dot{x}|\dot{x}$

起跳位置为起点（x=0），低于起点为正，高于起点为负，绳索弹力系数为k，原始长度为x0，则绳索对下落者的作用力：

综上两式，整个系统的数学描述为：

$m\ddot{x}=mg+b(x)-a_{1}\dot{x}-a_{2}|\dot{x}|\dot{x}$

（1）建立系统模型

（2）模块参数设置

起跳初始位置距地面80m，绳索初始长度x0为30m，起始速度为0，即 $\dot{x}$ (0)=0。k=18.45，a1=1.3，a2=1.1，m=70kg，g=9.8。

switch模块的阈值设置为0，Criteria for passing first input设置为u2>阈值。

（3）仿真运行

（4）更改仿真参数设置，结果更平滑

三、线性连续系统定义

满足齐次性和叠加性！

①输入输出方程形式描述

$y(t)=f(u(t),t)$

②微分方程形式描述

$\begin{aligned}\dot{x}(t)&=f\left(x(t),u(t),t\right)\\y(t)&=g\left(x(t),u(t),t\right)\end{aligned}$

也可使用传递函数、零极点模型、状态空间模型描述！

③传递函数与零极点模型用Laplace变换实现（此处可对比线性离散系统）

对于连续信号u(t)，其Laplace变换为 $U\left(s\right)=\int_{-\infty}^{\infty}u\left(t\right)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t$ ，一般系统时间大于0，所以变换为 $U\left(s\right)=\int_{0}^{\infty}u\left(t\right)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t$ ，简记为 $U(s)=L(u(t))$