「Wdoi-2」灵山之上神风起

传送门

题目背景

在天狗记者射命丸文的指（放）引（水）之下，灵梦一行人找到了山中的神社。

“在妖怪之山上还真的存在其他的神社啊。”灵梦感慨道。她们看到了由树木建造的神社正殿，以及正殿前的参拜道上的一排御柱，而更远处则是一片湖——风神之湖。湖面非常开阔，波光粼粼，一碧万顷，远处似乎有群山环抱，让人心旷神怡。

到达神社之时已经是傍晚了。正当灵梦和魔理沙感慨之时，见到在她们面前有一位白衣蓝裙的少女，东风谷早苗，拥有着引发奇迹程度的能力。为了找到守矢神社中的两位神灵，灵梦与魔理沙，向东风谷早苗产生了激烈的交战。

“那就在现人神的力量洗礼中思索吧！这召唤奇迹的神明之力！”

题目描述

简要题意

给定一个长度为 $n$ 的正整数序列 $a$ 满足对于所有 $i\in [1,n]$ 有 a i ∈ { 1 , 2 , 3 } a_i \in \{1,2,3\} ai​∈{1,2,3}。

现在通过该序列构造一张含 $n$ 个节点，节点编号为 $1$ 到 $n$ 的图：对于数 $i$，如果 $a_i=1$，那么什么都不做；如果 $a_i=2$，那么向所有比 $i$ 小的数的节点连无向边；如果 $a_i=3$，那么向所有比 $i$ 大的数的节点连无向边。求出该图的最大独立集的大小。

最大独立集，指的是原图中一个点数尽量多的点集，这些点在原图中两两之间没有边直接相连。

原始题意

然而，东风谷早苗（后称早苗）的弹幕密度相当之高，使人应接不暇，灵梦只得想个方法去减少她需要关注的弹幕数量。

数个回合过后，她发现，早苗每次释放弹幕只会释放出 $n$ 个弹幕，分别编号为 $1,2,\dots ,n$，而她每释放一个弹幕，都会对应着产生一次神力波动。因而她的神力波动可以抽象为一个长度为 $n$ 的正整数数列 { a n } \{a_n\} {an​}。由于她的资历尚浅，只会使用三种神力，分别用 $1,2,3$ 表示，即 $\forall i\in [1,n]$， a i ∈ { 1 , 2 , 3 } a_i \in \{1,2,3\} ai​∈{1,2,3}。

她发现，早苗的三种神力作用各不相同，具体而言如下：

• 当 $a_i=1$ 时，她不会做任何事情。
• 当 $a_i=2$ 时，早苗会让第 $i$ 个弹幕向所有弹幕编号小于 $i$ 的弹幕建立神力输送通道。
• 当 $a_i=3$ 时，早苗会让第 $i$ 个弹幕向所有弹幕编号大于 $i$ 的弹幕建立神力输送通道。

接着，在各种神力的交互配合之下，密集的弹幕将展开于灵梦的眼前。而一旁的魔理沙发现，若是从这些弹幕中挑选出尽可能多的一群弹幕，使得每个弹幕之间不存在直接相连的神力输送通道，那么这群弹幕会产生【引发奇迹程度的能力】，是不必关注的。

由于【引发奇迹程度的能力】只能被触发一次，灵梦和魔理沙想要知道，最多有多少个弹幕是不必关注的。她们找到了你，希望你能帮她解答。

输入格式

• 第一行，输入一个正整数 $n$，表示弹幕总数。
• 第二行，输入 $n$ 个正整数表示 $a_i$，具体含义见题目描述。

输出格式

• 共一行，输出一个正整数，表示最多有多少个弹幕是不必关注的。

样例 #1

样例输入 #1

6
3 1 3 2 1 2

样例输出 #1

2

提示

样例解释

根据题意显然可以构造出如下的图。其中 $a_i=2$ 的用蓝色边表示，$a_i=3$ 的用红色边表示。

显然选取第 $2,3$ 个弹幕（已用绿色填图）是最多的情况。实际上对于这个样例，选取弹幕的方案不止一种，但是不存在更多的情况了。

数据范围

$$\begin{array}{cccc}\text{Subtask}& \mathbf{n}\le & \text{特殊性质}& \text{分值}\\ 1& 10& -& 20\\ 2& 10^5& \text{A}& 10\\ 3& 10^5& \text{B}& 30\\ 4& 10^5& -& 40\end{array}$$

• 特殊性质 $\text{A}$：所有的 $a_i=1$；
• 特殊性质 $\text{B}$：所有的 $a_i$ 不是 $1$ 就是 $2$。

对于 $100\%$ 的数据，$1\le n\le 10^5$， a i ∈ { 1 , 2 , 3 } a_i \in \{1,2,3\} ai​∈{1,2,3}。

注明

$以上来自洛谷$
这是今天模拟赛的题，我 fst（挂分）了，（）（<-氧化钙）。对于此题，洛谷数据较弱，这里提供两组 Hack 数据（今天模拟赛数据）：
input #1

97335
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 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2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 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output #1

1

input #2

2
3 2

output #2

1

解题思路

其实是一道爇絷题，可以以 $a_i$ 分类讨论选择策略：

• 由题意可知，对于 $a_i=1$ 的元素（第一遍打成了原神），最优选取方案是都选取。因为题目中说到当 $a_i=1$ 时不进行任何操作，所以所有 $a_i=1$ 的元素一定没有直接的连边；
• 在基于以上最优条件下考虑 $a_i=2$ 的元素。由题意可知，$a_i=2$ 时需要将所有编号 $j\in [1,i)$ 的元素与 $i$ 连边，所以对于 $a_i=2$ 的元素，只能选一个。怎么取呢？如果在任意一个 $a_i=1$ 的元素后选 $a_i=2$ 的元素，则显然会破坏对于 $a_i=1$ 元素的最优解。所以在处于序列最左端的 $a_i=1$ 的元素之前取一个 $a_i=2$ 的元素（没有则不取），是满足 $a_i=1$、$a_i=2$ 条件最优取法；
• 在基于以上条件思考 $a_i=3$ 的元素。与 $a_i=2$ 的元素类似，只是操作改为对于 $a_i=3$ 的元素，将所有 $j\in (i,n]$ 连边。既然已经知道了 $a_i=2$ 时的最优解法，同理可得，在处于序列最右端的 $a_i=1$ 的元素之前取一个 $a_i=3$ 的元素（没有则不取），是满足 $a_i=1$、$a_i=2$、$a_i=3$ 条件最优取法；
• 特别的，对于 a i ∈ { 1 , 2 } a_i\in\{1,2\} ai​∈{1,2} 的情况需要特判，输出 $1$ 即可。

AC Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
char buf[1048576], *p1, *p2;
template<typename T>inline void Super_Quick_Read(T &x) {bool f = 1;x = 0;char ch = (p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 1 << 20, stdin), p1 == p2) ? 0 : *p1++);while (ch < '0' || ch > '9') {if (ch == '-') f = !f;ch = (p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 1 << 20, stdin), p1 == p2) ? 0 : *p1++);}while (ch >= '0' && ch <= '9')x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48), ch = (p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 1 << 20, stdin), p1 == p2) ? 0 : *p1++);x = (f ? x : -x);return;
}
template<typename T>inline void Quick_Write(T x) {if (x < 0) putchar('-'), x = -x;if (x > 9) Quick_Write(x / 10);putchar(x % 10 + '0');return;
}
int n, a[200005], b[200005];
int tong_a[200005], tong_b[200005];
long long Answer;
int main() {freopen("rawyf.in", "r", stdin);freopen("rawyf.out", "w", stdout);int t;Super_Quick_Read(t);while (t--) {Super_Quick_Read(n);for (register int i = 1; i <= n; ++i) tong_a[i] = tong_b[i] = 0;for (register int i = 1; i <= n; ++i) Super_Quick_Read(a[i]), Super_Quick_Read(b[i]), ++tong_a[a[i]], ++tong_b[b[i]];Answer = 1ll * n * (n - 1) * (n - 2) / 6;for (register int i = 1; i <= n; ++i) Answer -= 1ll * (tong_a[a[i]] - 1) * (tong_b[b[i]] - 1);Quick_Write(Answer), puts("");}return 0;
}

调查问卷

是不是很水？