写这两题之前，先了解一下什么是KMP算法

KMP

引例：
给出一个文本串：aabaabaaf
再给出一个模式串：aabaaf
求在这个文本串例是否出现过这个模式串

正常的暴力解法是：
两层for循环，一个先遍历文本串，一个遍历模式串，然后逐个字符去匹配。
当出现你第一个不匹配的字符时，将模式串整体后(右)移一位，然后再与文本串继续匹配，再匹配不上模式串继续向后移位，知道移动到文本串的第4个字符的位置时，模式串才能和文本串刚好匹配上。时间复杂度明显是O(m * n)，n是文本串的长度，m是模式串的长度 。
那KMP算法是如何解决这个字符串的匹配问题呢？

定义

由这三位学者发明的：Knuth，Morris和Pratt，取了三位学者名字的首字母。所以叫做KMP。

作用

主要应用在字符串匹配上。

KMP的主要思想是当出现字符串不匹配时，可以知道一部分之前已经匹配的文本内容，可以利用这些信息避免从头再去做匹配.

前缀表

接上文的引例，在最开始匹配的时候，匹配到最后一个字符f,与文本串的b对应不上，然后就将f跳到之前匹配过的内容，将跳转到b的位置重新开始匹配，最终找到符合题目要求的子串。

那这个跳转的步骤就是前缀表要干的事情：

定义

KMP算法代码实现中的next数组就是一个前缀表（prefix table）。

为什么一定要使用前缀表

这得看前缀表的特性。

前缀表是用来回退的，它记录了模式串与主串(文本串)不匹配的时候，模式串应该从哪里开始重新匹配。

文本串中第六个字符b 和 模式串的第六个字符f，不匹配了。如果暴力匹配，发现不匹配，此时就要从头匹配了。

但如果使用前缀表，就不会从头匹配，而是从上次已经匹配的内容开始匹配，找到了模式串中第三个字符b继续开始匹配。

前缀表是如何记录？

首先要知道前缀表的任务是当前位置匹配失败，找到之前已经匹配上的位置，再重新匹配，此也意味着在某个字符失配时，前缀表会告诉你下一步匹配中，模式串应该跳到哪个位置。

那么什么是前缀表：记录下标i之前（包括i）的字符串中，有多大长度的相同前缀后缀。

最长公共前后缀

文章中字符串的前缀是指不包含最后一个字符的所有以第一个字符开头的连续子串。

后缀是指不包含第一个字符的所有以最后一个字符结尾的连续子串。

正确理解什么是前缀什么是后缀很重要!

网上的 “kmp 最长公共前后缀” 用“最长相等前后缀” 更准确一些。

因为前缀表要求的就是相同前后缀的长度。

而最长公共前后缀里面的“公共”，更像是说前缀和后缀公共的长度。这其实并不是前缀表所需要的。

所以字符串a的最长相等前后缀为0。 字符串aa的最长相等前后缀为1。 字符串aaa的最长相等前后缀为2。

如何计算前缀表

例子中的下标5之前这部分的字符串（也就是字符串aabaa）的最长相等的前缀 和 后缀字符串是 子字符串aa ，因为找到了最长相等的前缀和后缀，匹配失败的位置是后缀子串的后面，那么我们找到与其相同的前缀的后面重新匹配就可以了。

要在文本串：aabaabaafa 中查找是否出现过一个模式串：aabaaf。

如图：

长度为前1个字符的子串a，最长相同前后缀的长度为0。（注意字符串的前缀是指不包含最后一个字符的所有以第一个字符开头的连续子串；后缀是指不包含第一个字符的所有以最后一个字符结尾的连续子串。）

长度为前2个字符的子串aa，最长相同前后缀的长度为1。

长度为前3个字符的子串aab，最长相同前后缀的长度为0。

以此类推： 长度为前4个字符的子串aaba，最长相同前后缀的长度为1。 长度为前5个字符的子串aabaa，最长相同前后缀的长度为2。 长度为前6个字符的子串aabaaf，最长相同前后缀的长度为0。

那么把求得的最长相同前后缀的长度就是对应前缀表的元素，此时我们得到的一个数字序列就是前缀表，如图：

可以看出模式串与前缀表对应位置的数字表示的就是：下标i之前（包括i）的字符串中，有多大长度的相同前缀后缀。

找到的不匹配的位置， 那么此时我们要看它的前一个字符的前缀表的数值是多少。

为什么要前一个字符的前缀表的数值，因为要找前面字符串的最长相同的前缀和后缀，
所以要看前一位的 前缀表的数值。
例子中不匹配的位置前一个字符的前缀表的数值是2， 所以把下标移动到下标2的位置继续比配。

next数组

前缀表与next数组的关系

很多KMP算法的实现都是使用next数组来做回退操作，那么next数组与前缀表有什么关系呢？

next数组就可以是前缀表，但是很多实现都是把前缀表统一减一（右移一位，初始位置为-1）之后作为next数组。

为什么这么做？
其实这并不涉及到KMP的原理，而是具体实现，next数组既可以就是前缀表，也可以是前缀表统一减一（右移一位，初始位置为-1）。

使用next数组来匹配

以下我们以前缀表统一减一之后的next数组来解题。

有了next数组，就可以根据next数组来 匹配文本串s，和模式串t了。

注意next数组是新前缀表（旧前缀表统一减一了）。

时间复杂度分析

其中n为文本串长度，m为模式串长度，因为在匹配的过程中，根据前缀表不断调整匹配的位置，可以看出匹配的过程是O(n)，之前还要单独生成next数组，时间复杂度是O(m)。所以整个KMP算法的时间复杂度是O(n+m)的。

暴力的解法显而易见是O(n × m)，所以KMP在字符串匹配中极大地提高了搜索的效率。

构造next数组

使用KMP算法，一定要构造next数组。
定义一个函数getNext来构建next数组，函数参数为指向next数组的指针，和一个字符串。 代码如下：

void getNext(int* next, const string& s)

构造next数组其实就是计算模式串s，前缀表的过程。 主要有如下三步：

• 初始化
• 处理前后缀不相同的情况
• 处理前后缀相同的情况

详解：

• 初始化：
  定义两个指针i和j，j指向前缀末尾位置，i指向后缀末尾位置。
  注：
  j初始化为 -1，因为之前说过 前缀表要统一减一的操作仅仅是其中的一种实现，我们这里选择j初始化为-1，代码处会给出j不初始化为-1的实现代码。
  next[i] 表示 i（包括i）之前最长相等的前后缀长度（其实就是j）
  所以初始化next[0] = j 。
• 处理前后缀不相同的情况
  因为j初始化为-1，那么i就从1开始，进行s[i] 与 s[j+1]的比较。
  所以遍历模式串s的循环下标i 要从 1开始，代码如下：

for (int i = 1; i < s.size(); i++) {

如果 s[i] 与 s[j+1]不相同，也就是遇到 前后缀末尾不相同的情况，就要向前回退。

怎么回退？

next[j]就是记录着j（包括j）之前的子串的相同前后缀的长度。

那么 s[i] 与 s[j+1] 不相同，就要找 j+1前一个元素在next数组里的值（就是next[j]）。

所以，处理前后缀不相同的情况代码如下：

while (j >= 0 && s[i] != s[j + 1]) { // 前后缀不相同了j = next[j]; // 向前回退
}

• 处理前后缀相同的情况
  如果 s[i] 与 s[j + 1] 相同，那么就同时向后移动i 和j 说明找到了相同的前后缀，同时还要将j（前缀的长度）赋给next[i], 因为next[i]要记录相同前后缀的长度。
  代码：

if (s[i] == s[j + 1]) { // 找到相同的前后缀j++;
}
next[i] = j;

最后整体构建next数组的函数代码如下：

void getNext(int* next, const string& s){int j = -1;next[0] = j;for(int i = 1; i < s.size(); i++) { // 注意i从1开始while (j >= 0 && s[i] != s[j + 1]) { // 前后缀不相同了j = next[j]; // 向前回退}if (s[i] == s[j + 1]) { // 找到相同的前后缀j++;}next[i] = j; // 将j（前缀的长度）赋给next[i]}
}

得到了next数组之后，就要用这个来做匹配。

使用next数组来做匹配

在文本串s里 找是否出现过模式串t。

定义两个下标j 指向模式串起始位置，i指向文本串起始位置。

那么j初始值依然为-1，为什么呢？ 依然因为next数组里记录的起始位置为-1。

i就从0开始，遍历文本串，代码如下：

for (int i = 0; i < s.size(); i++) 

接下来就是 s[i] 与 t[j + 1] （因为j从-1开始的） 进行比较。

如果 s[i] 与 t[j + 1] 不相同，j就要从next数组里寻找下一个匹配的位置。

代码如下：

while(j >= 0 && s[i] != t[j + 1]) {j = next[j];
}

如果 s[i] 与 t[j + 1] 相同，那么i 和 j 同时向后移动， 代码如下：

if (s[i] == t[j + 1]) {j++; // i的增加在for循环里
}

如何判断在文本串s里出现了模式串t，如果j指向了模式串t的末尾，那么就说明模式串t完全匹配文本串s里的某个子串了。

本题要在文本串字符串中找出模式串出现的第一个位置 (从0开始)，所以返回当前在文本串匹配模式串的位置i 减去 模式串的长度，就是文本串字符串中出现模式串的第一个位置。

代码：

if (j == (t.size() - 1) ) {return (i - t.size() + 1);
}

那么使用next数组，用模式串匹配文本串的整体代码如下：

int j = -1; // 因为next数组里记录的起始位置为-1
for (int i = 0; i < s.size(); i++) { // 注意i就从0开始while(j >= 0 && s[i] != t[j + 1]) { // 不匹配j = next[j]; // j 寻找之前匹配的位置}if (s[i] == t[j + 1]) { // 匹配，j和i同时向后移动j++; // i的增加在for循环里}if (j == (t.size() - 1) ) { // 文本串s里出现了模式串treturn (i - t.size() + 1);}
}

此时所有逻辑的代码都已经写出来了.完整代码看下文的实现strStr()的第一种实现。

实现 strStr()

链接: 实现 strStr()

思路

思路看上文

解题方法

看上文

复杂度

暴力解法

• 时间复杂度: O(n * m)
• 空间复杂度: O(m),

前缀表统一减一（不减一的也一样）

• 时间复杂度: O(n + m)
• 空间复杂度: O(m)

Code

暴力解法：

class Solution {
public:int strStr(string haystack, string needle) {int n = haystack.size(), m = needle.size();for (int i = 0; i + m <= n; i++) {bool flag = true;for (int j = 0; j < m; j++) {if (haystack[i + j] != needle[j]) {flag = false;break;}}if (flag) {return i;}}return -1;}
};

前缀表统一减一：

class Solution {
public:void getNext(int* next, const string& s) {int j = -1;next[0] = j;for(int i = 1; i < s.size(); i++) { // 注意i从1开始while (j >= 0 && s[i] != s[j + 1]) { // 前后缀不相同了j = next[j]; // 向前回退}if (s[i] == s[j + 1]) { // 找到相同的前后缀j++;}next[i] = j; // 将j（前缀的长度）赋给next[i]}}int strStr(string haystack, string needle) {if (needle.size() == 0) {return 0;}int next[needle.size()];getNext(next, needle);int j = -1; // // 因为next数组里记录的起始位置为-1for (int i = 0; i < haystack.size(); i++) { // 注意i就从0开始while(j >= 0 && haystack[i] != needle[j + 1]) { // 不匹配j = next[j]; // j 寻找之前匹配的位置}if (haystack[i] == needle[j + 1]) { // 匹配，j和i同时向后移动j++; // i的增加在for循环里}if (j == (needle.size() - 1) ) { // 文本串s里出现了模式串treturn (i - needle.size() + 1);}}return -1;}
};

前缀表（不减一）

主要就是j=next[x]这一步最为关键！

我给出的getNext的实现为：（前缀表统一减一）

void getNext(int* next, const string& s) {int j = -1;next[0] = j;for(int i = 1; i < s.size(); i++) { // 注意i从1开始while (j >= 0 && s[i] != s[j + 1]) { // 前后缀不相同了j = next[j]; // 向前回退}if (s[i] == s[j + 1]) { // 找到相同的前后缀j++;}next[i] = j; // 将j（前缀的长度）赋给next[i]}
}

此时如果输入的模式串为aabaaf，对应的next为-1 0 -1 0 1 -1。

这里j和next[0]初始化为-1，整个next数组是以 前缀表减一之后的效果来构建的。

那么前缀表不减一来构建next数组，代码如下：

void getNext(int* next, const string& s) {int j = 0;next[0] = 0;for(int i = 1; i < s.size(); i++) {while (j > 0 && s[i] != s[j]) { // j要保证大于0，因为下面有取j-1作为数组下标的操作j = next[j - 1]; // 注意这里，是要找前一位的对应的回退位置了}if (s[i] == s[j]) {j++;}next[i] = j;}}

此时如果输入的模式串为aabaaf，对应的next为 0 1 0 1 2 0，（其实这就是前缀表的数值了）。

那么用这样的next数组也可以用来做匹配，代码要有所改动。

实现代码如下：

class Solution {
public:void getNext(int* next, const string& s) {int j = 0;next[0] = 0;for(int i = 1; i < s.size(); i++) {while (j > 0 && s[i] != s[j]) {j = next[j - 1];}if (s[i] == s[j]) {j++;}next[i] = j;}}int strStr(string haystack, string needle) {if (needle.size() == 0) {return 0;}int next[needle.size()];getNext(next, needle);int j = 0;for (int i = 0; i < haystack.size(); i++) {while(j > 0 && haystack[i] != needle[j]) {j = next[j - 1];}if (haystack[i] == needle[j]) {j++;}if (j == needle.size() ) {return (i - needle.size() + 1);}}return -1;}
};

重复的子字符串

链接: 重复的子字符串

给定一个非空的字符串，判断它是否可以由它的一个子串重复多次构成。给定的字符串只含有小写英文字母，并且长度不超过10000。

示例 1:

输入: “abab”
输出: True
解释: 可由子字符串 “ab” 重复两次构成。
示例 2:

输入: “aba”
输出: False
示例 3:

输入: “abcabcabcabc”
输出: True
解释: 可由子字符串 “abc” 重复四次构成。 (或者子字符串 “abcabc” 重复两次构成。)

思路

暴力的解法， 就是一个for循环获取 子串的终止位置， 然后判断子串是否能重复构成字符串，又嵌套一个for循环即可。
我们只需要判断，以第一个字母为开始的子串就可以，所以一个for循环获取子串的终止位置就行了。 而且遍历的时候 都不用遍历结束，只需要遍历到中间位置，因为子串结束位置大于中间位置的话，一定不能重复组成字符串。

在一个串中查找是否出现过另一个串，这是KMP的看家本领。
本题可以使用KMP算法实现。

解题方法

步骤一：因为 这是相等的前缀和后缀，t[0] 与 k[0]相同， t[1] 与 k[1]相同，所以 s[0] 一定和 s[2]相同，s[1] 一定和 s[3]相同，即：，s[0]s[1]与s[2]s[3]相同 。

步骤二： 因为在同一个字符串位置，所以 t[2] 与 k[0]相同，t[3] 与 k[1]相同。

步骤三： 因为 这是相等的前缀和后缀，t[2] 与 k[2]相同 ，t[3]与k[3] 相同，所以，s[2]一定和s[4]相同，s[3]一定和s[5]相同，即：s[2]s[3] 与 s[4]s[5]相同。

步骤四：循环往复。

所以字符串s，s[0]s[1]与s[2]s[3]相同， s[2]s[3] 与 s[4]s[5]相同，s[4]s[5] 与 s[6]s[7] 相同。

正是因为 最长相等前后缀的规则，当一个字符串由重复子串组成的，最长相等前后缀不包含的子串就是最小重复子串。

复杂度

暴力解法

时间复杂度: O(n^2)
空间复杂度: O(n)

KMP（两者时空复杂度一样）

• 时间复杂度: O(n)
• 空间复杂度: O(n)

Code

暴力解法

class Solution {
public:bool repeatedSubstringPattern(string s) {int n = s.size();for (int i = 1; i * 2 <= n; ++i) {if (n % i == 0) {bool match = true;for (int j = i; j < n; ++j) {if (s[j] != s[j - i]) {match = false;break;}}if (match) {return true;}}}return false;}
};

前缀表统一减一

class Solution {
public:void getNext (int* next, const string& s){next[0] = -1;int j = -1;for(int i = 1;i < s.size(); i++){while(j >= 0 && s[i] != s[j + 1]) {j = next[j];}if(s[i] == s[j + 1]) {j++;}next[i] = j;}}bool repeatedSubstringPattern (string s) {if (s.size() == 0) {return false;}int next[s.size()];getNext(next, s);int len = s.size();if (next[len - 1] != -1 && len % (len - (next[len - 1] + 1)) == 0) {return true;}return false;}
};

前缀表不减一

class Solution {
public:void getNext (int* next, const string& s){next[0] = 0;int j = 0;for(int i = 1;i < s.size(); i++){while(j > 0 && s[i] != s[j]) {j = next[j - 1];}if(s[i] == s[j]) {j++;}next[i] = j;}}bool repeatedSubstringPattern (string s) {if (s.size() == 0) {return false;}int next[s.size()];getNext(next, s);int len = s.size();if (next[len - 1] != 0 && len % (len - (next[len - 1] )) == 0) {return true;}return false;}
};

总结

• KMP算法第一次太难理解了，看完视频，看完文章，自己在平板手动模拟了才将代码实现，实在不会的可以先将这两题放一放，二刷在突破。
• 参考文档
  链接: 28. 实现 strStr()
  链接: 重复的子字符串