【CSP试题回顾】202006-2-稀疏向量-编程知识

【CSP试题回顾】202006-2-稀疏向量

CSP-202006-2-稀疏向量

关键点：时间复杂度

1.暴力枚举（30分）

在传统的暴力枚举方法中，我们有两个长度为 a 和 b 的稀疏向量，需要对这两个向量的全部元素逐一比较，如果 index 相等则进行乘积计算，否则不进行计算，在这种情况下，时间复杂度是 $O(n^2)$ ，对于大量数据来讲时间开销过大。

2.优化方法（100分）

同步遍历两个向量：通过同时遍历两个稀疏向量的非零元素，我们可以仅在索引相同的情况下计算乘积，并累加这些乘积。这避免了对不会对最终结果产生影响的元素（即其中一个向量在该索引处为零的元素）进行计算。
按索引顺序比较和移动：通过比较当前遍历到的两个元素的索引，我们可以决定移动哪个向量的遍历指针。如果一个向量的当前元素索引小于另一个向量的，那么我们只需移动索引较小的那个向量的指针，因为只有当两个向量的索引相同时，元素的乘积才会对最终的点积结果有贡献。这样的比较和移动确保了我们只在必要时才进行计算，进一步降低了时间复杂度。
时间复杂度：在最坏的情况下，每当我们比较两个向量中的一个元素时，我们可能需要移动另一个向量的指针（但通常不会同时移动两个指针，除非两个元素索引相同）。因此，最坏情况下的时间复杂度是 $O (a + b)$ ，因为每个非零元素最多被比较和移动一次。这是一个显著优于 $O(n^2)$ 的改进，特别是当 a 和 b 都远小于 n 时。

解题思路

结构体MyPoint，用于存储向量的非零元素的索引和值。
通过输入获取向量的维度n（这个值在后续的计算中没有直接使用）以及两个稀疏向量u和v的非零元素的数量a和b。
接下来，通过循环读取这些非零元素的索引和值，并将它们存储到向量u和v中。
在计算点积的部分，初始化两个指针ui和vi（分别指向u和v的当前元素），以及用于存储最终点积结果的变量aws。
进入一个循环，在没有遍历完两个向量的情况下，不断进行以下操作：
- 比较当前元素的索引： 比较当前处理的两个向量的非零元素的索引来决定下一步的操作。由于向量u和v中的非零元素是按索引顺序存储的，这允许我们通过顺序访问来比较它们的索引。
- 移动指针： 如果u的当前元素的索引小于v的当前元素的索引，这意味着u的这个非零元素在v中对应的位置是0（因为在v中没有这个索引的非零元素）。因此，我们不需要计算这两个元素的乘积，而是需要考虑u的下一个非零元素，所以移动u的指针；相反，如果u的当前元素的索引大于v的当前元素的索引，这意味着v的这个非零元素在u中对应的位置是0。所以我们移动v的指针。
- 计算乘积并累加： 如果两个向量的当前元素具有相同的索引，这意味着我们找到了两个向量中都非零的对应元素，这时我们就计算这两个非零元素的乘积，并将乘积累加到总和aws中。然后，我们同时移动u和v的指针来考虑各自的下一个非零元素。
当任一个向量遍历完毕（即ui等于a或vi等于b），循环结束。

完整代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;struct MyPoint
{int index, num;
};
long long n, a, b, myIndex, myValue, aws, ui, vi;
vector<MyPoint>u, v;int main()
{cin >> n >> a >> b;for (int i = 0; i < a; i++){cin >> myIndex >> myValue;u.push_back({ myIndex,myValue });}for (int i = 0; i < b; i++){cin >> myIndex >> myValue;v.push_back({ myIndex,myValue });}while (true){if (u[ui].index < v[vi].index) ui++;else if (u[ui].index > v[vi].index) vi++;else {aws += u[ui].num * v[vi].num;ui++, vi++;}if (ui == a || vi == b)break;}cout << aws;return 0;
}