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一、AVL树的概念

       二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：

       当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

       一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

       1.它的左右子树都是AVL树

       2.左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

       如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在(log_2 n)，搜索时间复杂度O(log_2 n)。 

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二、AVL树的旋转

       如果在一颗原本平衡的AVL树插入新节点后，平衡因子可能会发生变化，从而使绝对值大于1，所以就需要旋转去调整树的结构，使之平衡化，而根据节点的不同，旋转就有4中情况。

1.左单旋

实现图解：

代码实现：

void RotateL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;subR->_left = parent;Node* parentParent = parent->_parent;parent->_parent = subR;if (subRL)subRL->_parent = parent;if (_root == parent){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (parentParent->_left == parent){parentParent->_left = subR;}else{parentParent->_right = subR;}subR->_parent = parentParent;}parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

2.右单旋

实现图解：

代码实现:

void RotateR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;Node* parentParent = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (_root == parent){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (parentParent->_left == parent){parentParent->_left = subL;}else{parentParent->_right = subL;}subL->_parent = parentParent;}subL->_bf = parent->_bf = 0;
}

3.左右双旋

       将双旋变成单旋后再旋转，即:先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新。

实现图解：

代码实现:

void RotateLR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == 0){// subLR自己就是新增parent->_bf = subL->_bf = subLR->_bf = 0;}else if (bf == -1){// subLR的右子树新增parent->_bf = 0;subLR->_bf = 0;subL->_bf = 1;}else if (bf == 1){// subRL的左子树新增parent->_bf = -1;subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

4.右左双旋

       具体实现参考左右双旋。

实现图解：

代码实现：

void RotateRL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 0){// subRL自己就是新增parent->_bf = subR->_bf = subRL->_bf = 0;}else if (bf == -1){// subRL的左子树新增parent->_bf = 0;subRL->_bf = 0;subR->_bf = 1;}else if (bf == 1){// subRL的右子树新增parent->_bf = -1;subRL->_bf = 0;subR->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

5.旋转总结 

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三、AVL树的基本实现

1.AVL树的节点实现

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;pair<K, V> _kv;int _bf; // balance factorAVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv), _bf(0){}
};

2.AVL树的插入实现

class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;cur->_parent = parent;}else{parent->_left = cur;cur->_parent = parent;}while (parent){if (cur == parent->_left){parent->_bf--;}else{parent->_bf++;}if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}// 1、旋转让这颗子树平衡了// 2、旋转降低了这颗子树的高度，恢复到跟插入前一样的高度，所以对上一层没有影响，不用继续更新break;}else{assert(false);}}return true;}
private:Node* _root=nullptr;
};

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四、AVL树的性能

       AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即log2n。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

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预告：AVL树固然nb,但是红黑树更强！如果说发明AVL树的人是周瑜，那么发明红黑树的人就是诸葛亮。下篇文章带你学习红黑树。

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结语：C++关于如何实现AVL树的分享到这里就结束了，希望本篇文章的分享会对大家的学习带来些许帮助，如果大家有什么问题，欢迎大家在评论区留言~~~