excel统计分析——曲线回归-编程知识

excel统计分析——曲线回归

参考资料：生物统计学

两个变量之间常呈非直线关系，非直线关系的两个变量需要用曲线回归模型来进行分析。曲线回归（curvilinear regression）有多种曲线类型。选择曲线类型时，需要根据散点图观察变量间的协同变化区试，同时考虑变化过程的专业解释。进行曲线回归分析时，通常采用线性化方法将曲线方程线性化，建立线性方程并进行显著性检验，然后还原成曲线回归方程。、

1、常用曲线回归模型

（1）逆函数模型： $y=a+bx^{-1}$

线性化方法：令 $x'=x^{-1}$ ，得到直线回归方程 $y=a+bx'$

（2）指数函数模型： $y=e^{a+bx}$

线性化方法：等号两侧同时取对数，使原方程变为： $ln(y)=z+bx$ 。令 $y'=ln(y)$ ，得直线回归方程 $y'=a+bx$

（3）对数函数模型： $y=a+b\times ln(x)$

线性化方法：令 $x'=ln(x)$ ，得直线回归方程 $y=a+bx'$

（4）幂函数模型： $y=a\times x^b$

线性化方法：等号两侧同时取对数，原方程变为： $ln(y)=ln(a)+b\times ln(x)$ ，令 $y'=ln(y)$ ， $a'=ln(a)$ ， $x'=ln(x)$ ，得直线回归方程 $y'=a'+bx'$

（5）二次函数模型： $y=a+b_1x+b_2x^2$

线性化方法：令 $x^2=x_2$ ，得线性回归方程 $y=a+b_1x+b_2x_2$ ，按多元线性回归求解。

（6）三次函数模型： $y=a+b_1x+b_2x^2+b_3x^3$

线性化方法：令 $x^2=x_2$ ， $x^3=x_3$ ，得线性回归方程： $y=a+b_1x+b_2x_2+b_3x_3$ ，按多元线性回归求解。

2、logistic曲线

Logistic曲线略呈“S”形，又称S曲线，曲线模型为： $y=\frac{K}{1+ae^{-bx}}$

其中：e是自然对数的底；K是y的极限值；b为增长速度。

当x=0时，y=K/(1+a)为起始大小，当x->∞时，y=K。其特点为增长速度在开始阶段随时间的增加而递增，经过x=ln(a)/b，y=K/2拐点后，增长速度逐渐减缓，并逼近极限值K。如下图：

Logistic曲线在生态学中用于描述生物种群在有限空间中的增长过程，在动物饲养、植物栽培、环境资源领域也得到广泛应用。

拟合Logistic模型时，通常采用三点法计算K值。假设x1、x2、x3等间距（通常为时间），对应的y分别为y1、y2、y3，则：

$K=\frac{y_2^2(y_1+y_3)-2y_1y_2y_3}{y_2^2-y_1y_3}$

求出K后，方程两边同时乘以 $\frac{1+a\times e^{-bx}}{y}$ ，并移项得 $\frac{K-y}{y}=a\times e^{-bx}$ ，两边同时取对数，得 $ln(\frac{K-y}{y})=ln(a)-bx$ 。令 $y'=ln(\frac{K-y}{y})$ ， $a'=ln(a)$ ， $b'=-b$ ，则原方程化为直线方程： $y'=a'+bx'$