计算机组成原理 3 运算器-编程知识

计算机组成原理 3 运算器

定点补码加/减法运算

补码加减法的实现

        补码加法 ： [X ＋ Y] 补 = [X] 补＋ [Y] 补

        和的补码 = 补码的和

        补码减法 ： [X−Y] 补 = [X] 补＋ [−Y] 补 = [X] 补 −[Y] 补

        差的补码 = 补码的差

        求补公式 ： [−Y] 补 = [ [Y] 补 ] 补

        对 [Y] 补逐位取反 , 再在最低位加 1

溢出检查（OF）

方法1

溢出逻辑： 正正得负负负得正

设两数符号位为 $f_0 \ \ \ f_1$ ，和数符号位 $f_s$

$Overflow = \overline{f_0}\ \overline{f_1}f_s + f_0 f_1 \overline{f_s}$

方法2

符号位进位位 $C_f$ ，最高位进位位 $C_n$

$Overflow = C_f \oplus C_n$

方法3——双符号位

双符号位的最高位永远是正确符号

$Overflow = f_1 \oplus f_2$

二进制加法运算

先考虑一位加法，然后构成加法链。

一位加法： $S = X\oplus Y$

一位全加器： $S = X_i \oplus Y_i \oplus C_{i-1}$ ， $C_{i+1} = X_iY_i + (X_i + Y_i)C_{i-1}$

n位加法器：n个一位加法器串联，低位的进位输出连接到高位的进位输入。

加法器的改造

引入运算控制位 $Sub$ ，Sub = 0 时作加法，Sub = 1时作减法，此时送入[-Y]补。

$Input = Y_i \oplus Sub$

标志寄存器

存放运算标志的寄存器，每个标志对应标志寄存器中的一个标志位。

                        IA-32中的EFLAGS寄存器     (MIPS 无标志寄存器):

                                ZF（结果为零）        SF（结果为负数）

                                CF（进位/借位）      OF（有符号溢出)

并行加法器

串行加法器高位运算需要等待低位运算，延迟过高，因此想要改成并行。

关键在于解决进位 $C_i$ 对低位运算的依赖。

                        进位链：

                                 $S_i = X_i\oplus Y_i \oplus C_{i-1}$

                                 $C_i = X_i Y_i + (X_i \oplus Y_i)C_{i-1}$

设 $G_i = X_i Y_i$ （进位生成函数）， $P_i = X_i \oplus Y_i$ （进位传递函数）

则 $C_i= G_i + P_iC_{i-1}$

由递推式 $C_i= G_i + P_iC_{i-1}$ 可以提前得到进位表达式，使得每一位全加器的进位输入不再依赖前一个全加器。

$C_1 = G_1 + P_1C_0$

$C_2 = G_2 + P_2 C_1 = G_2 + P_2(G_1 + P_1C_0) = G_2 + P_2G_1 + P_2P_1C_0$

......

$C_n = G_n + P_nG_{n-1} + P_nP_{n-1}G_{n-2} +... \ + P_nP_{n-1}P_{n-2}...P_1C_0$

进位输出仅与最低位进位输入 $C_0$ 有关
位数越长，进位链电路复杂度越高
通常按照4位一组进行分组运算

定点乘法运算

实现思路

        执行乘法运算子程序实现乘法运算（软件实现）：零成本、RISCV32-I指令集
        利用加法器多次累加实现乘法运算：原码、补码一位乘法，成本低
        设置专用乘法器实现乘法运算：成本高

二进制手算乘法

由此可以想到阵列乘法：即先计算相加数，然后逐列相加。用到了很多的全加器，成本高，但换来了效率。

从这种横向进位模式想到，实际上进行的就是：相加➡移位➡相加➡移位......的过程。数学表达出来是这样：

由此可以推出原码乘法

原码乘法

累加后 逻辑右移

n 次加法

符号位单独计算

核心运算

累加 ∑ = ∑ + 0 或 ∑ = ∑ + X，分支合并为累加 ∑ = ∑ +YnX
逻辑右移 ∑ = ∑ / 2

减少寄存器访问

∑ = (∑ +YnX)/2

先移位再锁存，简化电路，提升速率

运算计数控制

简单状态机控制，计数器比较

硬件实现：

但由于机器内采用补码存储，原码乘法实际上没有什么实际意义，但可以通过原码乘法稍作转换推出补码乘法运算方法。

补码乘法

可以推出：[X * Y]补 = [X]补 * 0.Y1Y2…Yn – Y0[X]补 （Y0为符号位）

进一步有：[X * Y]补 = [X]补 * [ Y1 - Y0 + (Y2 - Y1)2^-1 + (Y3 - Y2)2^-2+…+(0-Yn)2^-n ]

可以看出和原码乘法形式非常类似，因此可以改进原码乘法来实现。

n+1 次加法， n 次 算术右移

符号位参与运算， 不需单独计算符号位

硬件实现：

阵列乘法

再回看阵列乘法

符号单独运算：直接异或
绝对值相乘：仅需考虑数值部分的计算
R=X*Y

        1 × 1 = 1

        1 × 0 = 0

        0 × 1 = 0

        0 × 0 = 0

与门实现一位乘法
25个与门并发
一级门延迟，生成所有相加数