算法汇总啊-编程知识

一些常用算法汇总

算法思想-----数据结构
动态规划(DP)
- 0.题目特点
- 1.【重点】经典例题(简单一维dp）
- - 1.斐波那契数列
  - 2.矩形覆盖
  - 3.跳台阶
  - 4.变态跳台阶
- 2.我的日常练习汇总(DP)
- - 1.蓝桥真题-----路径

算法思想-----数据结构

数据结构的存储方式 : 顺序存储(数组) , 链式存储(链表)

  顺序存储(数组) : 在内存中的存储空间是连续的 , 所以可以通过索引来获取存储的元素链式存储(链表) : 不是连续存储的 , 可能是这一个那一个的 .通常是由 数据域和指针域组成-->也就是data和next指针 (next指针指向下一个节点的地址)

数据结构底层逻辑

  所以啊 , 数据结构的那些东西(数组,链表,栈,队列,图,树,散列表等等)--->其实底层逻辑 都是数组或链表

数组和链表优缺点

数组--->可以随机访问(通过索引) , 但是 需要考虑存储容量的问题
链表--->没有存储容量的问题 , 但是不能随机访问元素

数据结构存在的意义

  数据结构存在的意义---->就是为了处理数据啊(增删改查)--->怎么增删改查呢?---->遍历+递归那为什么会有那么多种数据结构呢 ? ---->因为每种数据结构的应用场景不一样(灵活应用,优化代码嘛)

动态规划(DP)

0.题目特点

1.计数（问：how many ways。。。）
- a.有多少种方式走到右下角
- b.有多少种方法选出k个数使得和是sum
2.求最大值、最小值（最大的一个解题类型）
- a.从左上角走到右下角路径的最大数字和
- b.最长上升子序列的长度
3.求存在性
- a.取石子游戏，先手是否必胜
- b.能不能选出k个数使得和是sum

1.【重点】经典例题(简单一维dp）

1.斐波那契数列

1 1 2 3 5 8 …

这是最经典的递归问题，
但如果用递归求解，会重复计算一些子问题。
那如何用动态规划求解呢。

题目描述：求斐波那契数列的第n项，n<39。
在这里插入图片描述

递归法
根据递推公式：f(n) = f(n-1)+f(n-2)

int fib(int n){if(n<2) return n;return fib(n-1)+fib(n-2);
}

dp
- 1.状态：最后一步是求f[n]
- 2.转移方程：f[n] = f[n-1]+f[n-2]
- 3.初始化：f[1]=1 ；边界条件：n<=1
- 4.计算顺序：1—>n

public int Fibonacci(int n){if(n <= 1) return n;	//边界条件int[] fib = new int[n+1];fib[1] = 1;		//初始化fib[2] = 1;for(int i=2;i<=n;i++){	//计算顺序fib[i] = fib[i-1] + fib[n-2];	//状态方程return fib[n];
}

2.矩形覆盖

题目描述：我们可以用2*1的小矩形横着或竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠的覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？

分析：dp[1] = 1 ; dp[2] = 2

  要覆盖2*n的大矩形，可以先覆盖一个2*1的矩形，再覆盖2*(n-1)的矩形；也可以先覆盖两个个2*2的矩形，再覆盖2*(n-2)的矩形。而覆盖2*(n-1)和2*(n-2) 可以看做是子问题，传递下去

在这里插入图片描述

- 最后一步：求 dp[n]
- 初始化：dp[1] = 1 ; dp[2] = 2;  边界条件：n<=2
- 转移方程（递归表达式）：dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]
- 计算顺序：1-->n

递归法

public int rectCover(int n){if(n<=2) return n;return rectCover(n-1)+rectCover(n-2);
}

dp算法

public int rectCover(int n){if(n<=2) return n;int[] dp = new int[n+1];dp[1] = 1;dp[2] = 2;for(int i=3;i<=n;i++){dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2];}return dp[n];
}

3.跳台阶

题目描述：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级台阶总共有多少种跳法。
在这里插入图片描述

分析

  int[] dp = new int[n]; //dp[i]表示跳到第i级台阶有多少种跳法状态（最后一步）：d[n]初始化：dp[1] = 1 ; dp[2] = 1 ;边界条件：n<=2;状态转移方程：dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2]; 	//dp[i]的状态，要么从i-1的台阶跳1级到i	； 要么从i-2级台阶一次跳2级到i计算顺序：1-->n 	//计算 dp[i] 需要先计算 dp[i-1] 和 dp[i-2]

public int jumpFloor(int n){if(n<=2) return n;int[] dp = new int[n+1];dp[1] = 1;dp[2] = 1;for(int i=3;i<=n;i++）{dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2];}return dp[n];
}

4.变态跳台阶

题目描述：一只青蛙可以跳上1级台阶，也可以跳上2级…它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
在这里插入图片描述

分析

  最后一步：求 dp[n] //跳上n级台阶的方案数初始化：dp[1] = 1,dp[2] = 1,...,dp[n] = 1状态转移方程：dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2]+...+dp[1]	//从所有台阶上都可以调到i级台阶上去计算顺序：1-->n

代码实现

public int jumpFloorII(int n){int[] dp = new int[n+1];Arrays.fill(dp,1);	//把dp数组中所有元素初始化为1//对于每一级台阶，方案数都是前面所有台阶的方案数的和for(int i=1;i<=n;i++){	for(int j=1;j<i;j++){dp[i] += dp[j];}}return dp[n];
}

2.我的日常练习汇总(DP)

1.蓝桥真题-----路径

蓝桥真题:路径
在这里插入图片描述

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;
// 1:无需package
// 2: 类名必须Main, 不可修改public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner scan = new Scanner(System.in);//在此输入您的代码...//最短路径-->dp//最小公倍数 = 两数乘积/最大公约数System.out.println(check());scan.close();}public static int check(){int[] dp = new int[2021+1];//结束条件 //初始化Arrays.fill(dp,Integer.MAX_VALUE);dp[1] = 0;dp[2] = 2;for(int i=3;i<=2021;i++){for(int x=i-21;x<i;x++){if(x<=0) continue;dp[i] = Math.min((dp[x] + lcm(i,x,gcb(i,x))) , dp[i]);}}return dp[2021];}public static int gcb(int a,int b){if(b == 0) return a;return gcb(b,a%b);}public static int lcm(int a,int b,int gcb){return (a*b)/gcb;}
}