Python数据结构与算法——算法(贪心算法、动态规划-编程知识

贪心算法

介绍：贪心算法又称贪婪算法，是指在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，它所做出的是在某种意义上的局部最优解。

贪心算法并不保证会得到最优解，但是在某些问题上贪心算法的解就是最优解。要会判断一个问题能否用贪心算法来计算。

例一：找零问题

问题：假设商店老板需要找零n元钱，钱币的面额有：100元、50元、20元、5元、1元，如何找零使得所需的钱币数量最少？

思路：为了找的钱币最少，从最大面额找，找不开就用比它小的找...

t = [100, 50, 20, 5, 1]def change(t, n):m = [0 for _ in range(len(t))]for i, money in enumerate(t):m[i] = n // moneyn = n % moneyreturn m, nprint(change(t, 376))

例二：背包问题

问题：一个小偷在某个商店发现有n个商品，第i个商品价值vi元，重wi千克。他希望拿走的价值尽量高，但他的背包最多只能容纳W千克的东西。他应该拿走哪些商品？

0-1背包：对于一个商品，小偷要么把它完整拿走，要么留下。不能只拿走一部分，或把一个商品拿走多次。(商品为金条)
分数背包：对于一个商品，小偷可以拿走其中任意一部分。(商品为金砂)

分数背包使用贪心算法没有问题，但是0-1背包不可以！

分数背包

goods = [(60, 10), (120, 30), (100, 20)]  # 每个商品元组表示(价格, 重量)
goods.sort(key = lambda x:x[0]/x[1], reverse = True)  # 按照单价排序def fractional_backpack(goods, w):    m = [0 for _ in range(len(goods))]total_v = 0for i, (price, weight) in enumerate(goods):if w >= weight:m[i] = 1w -= weighttotal_v += priceelse:m[i] = w/weighttotal_v += m[i] * pricew = 0breakreturn m, total_vprint(fractional_backpack(goods, 50))

例三：拼接最大数字问题、

问题：有n个非负整数，将其按照字符串拼接的方式拼接为一个整数，如何拼接可以使得到的整数最大？

例：32、94、128、1286、6、71可以拼接的最大整数为：94716321286128

from functools import cmp_to_keyli = [32, 94, 128, 1286, 6, 71]def xy_cmp(x, y):if x+y > y+x:return -1elif x+y < y+x:return 1else:return 0def number_join(li):li = list(map(str, li))li.sort(key=cmp_to_key(xy_cmp))return "".join(li)print(number_join(li))

例四：活动选择问题

问题：假设有n个活动，这些活动要占用同一片场地，而场地在某时刻只能供一个活动使用。

每个活动都有一个开始时间si和结束时间fi（题目中时间以整数表示），表示活动在[si, fi)区间占用场地。

问：安排那些活动能够使该场地举办的活动个数最多？

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
si	1	3	0	5	3	5	6	8	8	2	12
fi	4	5	6	7	9	9	10	11	12	14	16

思路：最先结束的活动一定是最优解的一部分。

activities = [(1, 4), (3, 5), (0, 6), (5, 7), (3, 9), (5, 9), (6, 10), (8, 11), (8, 12), (2, 14), (12, 16)]# 保证活动是按照结束时间排好序的
activities.sort(key=lambda x:x[1])def activity_selection(a):res = [a[0]]for i in range(1, len(a)):if a[i][0] >= res[-1][1]:  # 当前活动的开始时间小于等于最后一个入选活动的结束时间res.append(a[i])return resprint(activity_selection(activities))

动态规划

介绍：是一种解决复杂问题的数学方法，通常用于优化问题。动态规划将问题分解为更小的子问题，通过解决这些子问题并将它们的解存储起来，最终得到原始问题的解。

思想：

最优子结构（递推式）
重复子问题

什么问题使用动态规划方法？

最优子结构
- 原问题的最优解中涉及多少个子问题
- 在确定最优解使用哪些子问题时，需要考虑多少种选择
重叠子问题

例一：斐波那契数列

# 子问题的重复计算
def fibnacci(n):if n == 1 or n == 2:return 1else:return fibnacci(n-1) + fibnacci(n-2)# 无重复计算，存在列表中——动态规划(DP)
def fibnacci_no_recurision(n):f = [0, 1, 1]if n > 2:for i in range(n-2):num = f[-1] + f[-2]f.append(num)return f[-1]print(fibnacci_no_recurision(100))

例二：钢条切割问题

思路：

设长度为n的钢条切割后的最优收益值为 $r_{n}$ ，可以得出递推式： $r_{n} = max(p_{n}, r_{1} + r_{n-1}, r_{2} + r_{n-2}, ... , r_{n-1} + r_{1})$
第一个参数 $p_{n }$ 表示不切割
其他n-1个参数分别表示另外n-1种不同切割方案，对方案i=1,2,...,n-1
- 将钢条切割为长度为i和n-i两段
- 方案i的收益为切割两端的最优收益之和
考察所有的i，选择其中收益最大的方案

钢条切割问题满足最优子结构，比如长度为9要切为8和1，前面已经算了8的最佳情况，直接使用即可。

自顶向下递归实现

时间复杂度： $2^{n}$

p = [0, 1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 21, 23, 24, 26, 27, 27, 28, 30, 33, 36, 39, 40]def cut_rod_recurision_1(p, n):if n == 0:return 0else:res = p[n]for i in range(1, n):res = max(res, cut_rod_recurision_1(p, i) + cut_rod_recurision_1(p, n-i))return resdef cut_rod_recurision_2(p, n):if n == 0:return 0else:res = 0for i in range(1, n+1):res = max(res, p[i] + cut_rod_recurision_2(p, n-i))return resprint(cut_rod_recurision_1(p, 15))
print(cut_rod_recurision_2(p, 15))

自底向上动态规划实现

时间复杂度： $n^{2}$

p = [0, 1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 21, 23, 24, 26, 27, 27, 28, 30, 33, 36, 39, 40]def cut_rod_dp(p, n):r = [0]for i in range(1, n+1):res = 0for j in range(1, i+1):res = max(res, p[j] + r[i-j])r.append(res)return r[n]print(cut_rod_dp(p, 9))

重构解

同时输出最优解和最优切割方案

对于每个子问题，保存切割一次时左边切下的长度


def cut_rod_extend(p, n):r = [0]s = [0]for i in range(1, n+1):res_r = 0  # 记录价格的最大值res_s = 0  # 记录价格最大值对应方案的左边不切割部分的长度for j in range(1, i+1):if p[j] + r[i-j] > res_r:res_r = p[j] + r[i-j]res_s = jr.append(res_r)s.append(res_s)return r[n], sdef cut_rod_solution(p, n):r, s = cut_rod_extend(p, n)ans = []while n > 0:ans.append(s[n])n -= s[n]return ansprint(cut_rod_solution(p, 9))

例三：最长公共子序列实现

问题：一个序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。

例："ABCD"和"BDF"都是"ABCDEFG"的子序列

给定两个序列X和Y，求X和Y长度最大的公共子序列

返回最大公共子序列长度

def lcs_length(x, y):m = len(x)n = len(y)# 创建一个二维数组来存储子问题的解dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]# 填充dp数组for i in range(1, m + 1):for j in range(1, n + 1):if x[i - 1] == y[j - 1]:dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1  # i j 位置上的字符匹配时，来自与左上方else:dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])# 从dp数组中找到最长公共子序列的长度return dp[m][n]# 测试
x = "abcde"
y = "ace"
print(lcs_length(x, y))

代码自己手动敲一遍理解更深哦！