ABC397D Cubes
我们有 \(N = (x-y)(x^2+xy+y^2) = ab\)，由于 \((x-y)^2 \le (x^2+xy+y^2)\)，那么 \(a\) 是 \(O(N^{1/3})\) 级别的数，可以直接枚举，check 就是个解二次方程。
void slv() {i128 n; Read(n);constexpr i128 lim = 5e6;auto chk = [&](i128 x) -> i128 {i128 l = 0, r = 1e18;while (l < r) {i128 mid = (l + r + 1) / 2;if (mid * mid <= x) {l = mid;} else {r = mid - 1;}}return l;};for (i128 a = 1; a < lim; a ++) {if (n % a) continue;i128 b = n / a, xy = b - a * a;if (xy % 3) continue;xy /= 3;i128 c = a * a + 2 * b;if (c % 3) continue;c /= 3, c += 2 * xy;i128 d = chk(c);if (d * d != c) continue;i128 x = a + d, y = d - a;if (x & 1) continue;if (y & 1) continue;x /= 2, y /= 2;if (x <= 0 || y <= 0) continue;Write(x, ' ', y, '\n');return;}Puts("-1");return;
}
ABC397E Path Decomposition of a Tree
子树 \(u\) 内划分完之后一定是剩一条根链，且长度恰好为 \(len_u = size_u \bmod k\)。
进行 DP，记 \(f_u\) 表示 \(u\) 子树内是否能成功划分。
首先要求所有儿子的子树内都能成功划分，记 \(\displaystyle cnt = \sum_{v \in \mathbf{son}(u)} [len_v \neq 0]\)。
当 \(len_u = 1\) 时，要求 \(cnt = 0\)，否则要求 \(cnt \neq 0\)。
当 \(len_u \neq 0\) 时，要求 \(cnt = 1\)，此时恰好形成一个根链。
当 \(len_u = 0\) 时，如果 \(cnt = 1\)，那么是拼出一个根链，否则是两个子树中的根链和 \(u\) 拼成一条链。
constexpr int N = 2e5 + 5;
int n, k, sz[N], len[N];
vector<int> G[N];
bool f[N];void DFS(int u, int fa) {sz[u] = 1, f[u] = true;int cnt = 0;for (auto v : G[u]) if (v != fa) {DFS(v, u), sz[u] += sz[v], f[u] &= f[v];cnt += !!len[v];}len[u] = sz[u] % k;if (!f[u]) {return;}if (len[u] == 1) {f[u] = !cnt;return;}if (len[u] != 0) {f[u] = (cnt == 1);return;}if (len[u] == 0) {f[u] = (1 <= cnt && cnt <= 2);}return;
}void slv() {Read(n, k);if (k == 1) {Yes();return;}const int nk = n * k;for (int i = 1; i < nk; i ++) {int u, v; Read(u, v);G[u].emplace_back(v);G[v].emplace_back(u);}DFS(1, 0);Yes(f[1]);return;
}
ABC397F Variety Split Hard
按照套路，求出每个位置的颜色上一次出现的位置记为 \(lst_i\)，并把每个位置看成点 \((i, lst_i)\)，那么题目中要的就是将平面划分成 \(3\) 个对角线为 \(y = x\) 的正方形，使得正方形外的点最多。
考虑扫描 \(r\)，同时维护 \(f_i\) 表示 \(l = i\) 时的前 \(r\) 个位置的贡献，\((r + 1, n]\) 这部分的答案 \(g_r\) 可以通过 C 题相同的方式维护，那么我们每次要做的就是 \(\displaystyle ans \leftarrow f_i + g_r\)。
每次 \(r\) 移动时，首先将 \(f_r\) 加到 \(f\) 中，这个可以用和 C 题相同的方式维护，然后需要用 \(r\) 位置更新 \(f\)，发现只会使 \([lst_i +1, i]\) 这段的 \(f\) 增加 1，最后计算答案。
发现需要做的是 push_back，后缀加，查询全局最大，可以并查集做到线性，不过没必要。
struct Info {int mx;Info(): mx(0) { return; }Info(int x): mx(x) {}friend Info operator + (Info x, Info y) {return Info(max(x.mx, y.mx));}
};
struct Tag {int tg;Tag(): tg(0) { return; }Tag(int t): tg(t) { return; }operator bool() {return tg;}friend Tag operator * (Tag x, Tag y) {return Tag(x.tg + y.tg);}Info Apply(Info x) {return x.mx += tg, x;}
};constexpr int N = 3e5 + 5;
int n, a[N], bin[N], lst[N];
Segment_Tree<Info, Tag, N> sgt;struct Counter {int cnt[N], res;Counter(): res(0) {memset(cnt, 0, sizeof cnt);}void add(int x) {res += !cnt[x] ++;return;}void del(int x) {res -= !-- cnt[x];return;}int qry() {return res;}
};void slv() {Read(n);for (int i = 1; i <= n; i ++) {Read(a[i]);}sgt.Build(n + 1);Counter suf, pre;for (int i = 1; i <= n; i ++) {lst[i] = bin[a[i]], bin[a[i]] = i;suf.add(a[i]);}int ans = 0;for (int i = 1; i < n; i ++) {suf.del(a[i]), pre.add(a[i]);if (max(lst[i], 1) < i) {sgt.Update(max(lst[i], 1), i - 1, 1);}if (i > 1) {cmax(ans, sgt.Query().mx + suf.qry());}sgt.Change(i, pre.qry());}Write(ans, '\n');return;
}
ABC397G Maximize Distance
没写完，唉唉。
考虑去计算 \(F(x)\) 表示使得 \(1 \rightsquigarrow n\) 的最短距离为 \(x\) 至少改多少条边。
将问题看成给每个点标号，经过转化就是最小割的形式了。
然后二分即可。
constexpr int inf = 1E5;void slv() {int n, m, k;Read(n, m, k);vector<pair<int, int>> edge(m);for (int i = 0; i < m; i ++) {int u, v; Read(u, v);edge[i] = {-- u, -- v};}auto calc = [&](int x) {MaxFlow_Graph<int> G(n * x + 2);int S = n * x, T = S + 1;auto id = [&](int i, int d) {return i * x + d;};for (int i = 0; i < n; i ++) {G.Add_Edge(id(i, 0), S, inf);G.Add_Edge(T, id(i, x - 1), inf);for (int j = 0; j < x - 1; j ++) {G.Add_Edge(id(i, j + 1), id(i, j), inf);}}G.Add_Edge(id(0, 0), T, inf);G.Add_Edge(S, id(n - 1, x - 1), inf);for (auto [u, v] : edge) {for (int j = 0; j < x; j ++) {if (j + 1 < x) {G.Add_Edge(id(v, j + 1), id(u, j), inf);}G.Add_Edge(id(v, j), id(u, j), 1);}}return G.Max_Flow(S, T);};int l = 0, r = n - 1;while (l < r) {int mid = (l + r + 1) / 2;if (calc(mid) <= k) {l = mid;} else {r = mid - 1;}}Write(l, '\n');return;
}
