算法打卡day46|动态规划篇14| Leetcode 1143.最长公共子序列、1035.不相交的线、53. 最大子序和-编程知识

算法题

Leetcode 1143.最长公共子序列

题目链接:1143.最长公共子序列

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个人思路

本题和718. 最长重复子数组很相像，思路差不多还是用动态规划。区别在于这题不要求是连续的了，但要有相对顺序

解法

动态规划

动规五部曲：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]

这里定义长度为[0, i - 1]的字符串text1，是为了后面代码实现方便，简化了dp数组第一行和第一列的初始化逻辑。

2.确定递推公式

主要就是两大情况： text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同

如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列，取最大的。

即：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);

3.dp数组如何初始化

test1[0, i-1]和空串的最长公共子序列自然是0，所以dp[i][0] = 0;

同理dp[0][j]也是0。其他下标都是随着递推公式逐步覆盖，初始为多少都可以，那么就统一初始为0。

4.确定遍历顺序

从递推公式，可以看出，有三个方向可以推出dp[i][j]，如图：

那么为了在递推的过程中，这三个方向都是经过计算的数值，所以要从前向后，从上到下来遍历这个矩阵。

5.举例推导dp数组

以输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 为例，dp状态如图：


class Solution {public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {int[][] dp = new int[text1.length() + 1][text2.length() + 1]; // dp数组初始化for (int i = 1 ; i <= text1.length() ; i++) {char char1 = text1.charAt(i - 1);for (int j = 1; j <= text2.length(); j++) {char char2 = text2.charAt(j - 1);if (char1 == char2) { // 相同情况dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;} else {dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);//不同情况取最大值}}}return dp[text1.length()][text2.length()];}
}

时间复杂度:O(n*m)；（ n 和 m 分别为 text1 和 text2 的长度）

空间复杂度:O( n*m);（二维dp数组）

Leetcode 1035.不相交的线

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个人思路

这道题没想到啥思路，想复杂了...

解法

动态规划

先画图根据例子分析一下，示例：A = [1,4,2], B = [1,2,4]相交情况如图：

直线不能相交，这就是说明在字符串A中找到一个与字符串B相同的子序列，且这个子序列不能改变相对顺序，只要相对顺序不改变，链接相同数字的直线就不会相交。

其实也就是说A和B的最长公共子序列是[1,4]，长度为2。所以本题是求绘制的最大连线数，其实就是求两个字符串的最长公共子序列的长度！那就和上题思路相同，就不进行动规分析

只用字符串名字改一下，其他代码都不用改，直接cv

  class Solution {public int maxUncrossedLines(int[] nums1, int[] nums2) {int len1 = nums1.length;int len2 = nums2.length;int[][] dp = new int[len1 + 1][len2 + 1];for (int i = 1; i <= len1; i++) {for (int j = 1; j <= len2; j++) {if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;} else {dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);}}}return dp[len1][len2];}
}

时间复杂度:O(n*m)；（ n 和 m 分别为 nums1和 nums2 的长度）

空间复杂度:O( n*m);（二维dp数组）

Leetcode 53. 最大子序和

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个人思路

这道题之前贪心算法解过，这次用动态规划解

解法

动态规划

动规五部曲：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i]：包括下标i（以nums[i]为结尾）的最大连续子序列和为dp[i]。

2.确定递推公式

dp[i]只有两个方向可以推出来：

dp[i - 1] + nums[i]，即：nums[i]加入当前连续子序列和
nums[i]，即：从头开始计算当前连续子序列和

一定是取最大的，所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);

3.dp数组如何初始化

从递推公式可以看出来dp[i]是依赖于dp[i - 1]的状态，dp[0]就是递推公式的基础。根据dp[i]的定义，很明显dp[0]应为nums[0]即dp[0] = nums[0]。

4.确定遍历顺序

递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态，需要从前向后遍历。

5.举例推导dp数组

以示例一为例，输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]，对应的dp状态如下：

注意最后的结果可不是dp[nums.size() - 1]！ ，而是dp[6]。

因为dp[i]的定义：包括下标i之前的最大连续子序列和为dp[i]。

所以要找最大的连续子序列，就应该找每一个i为终点的连续最大子序列。所以在递推公式的时候，可以直接选出最大的dp[i]。

 public static int maxSubArray(int[] nums) {if (nums.length == 0) {return 0;}int res = nums[0];int[] dp = new int[nums.length];dp[0] = nums[0];//初始化赋值for (int i = 1; i < nums.length; i++) {dp[i] = Math.max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);res = res > dp[i] ? res : dp[i];//保存最大的结果}return res;}