【五十七】【算法分析与设计】IndexTree,IndexTree的作用,IndexTree流程,IndexTree代码-编程知识

【五十七】【算法分析与设计】IndexTree,IndexTree的作用,IndexTree流程,IndexTree代码

IndexTree作用

给你一个nums数组，实现查询区间和操作+单点更新nums数组操作。

可以使用IndexTree结构实现这两个操作。

IndexTree流程

IndexTree的大小和nums数组大小相同。

IndexTree下标必须从1开始，为了方便也将nums数组的下标一一对应。

IndexTree[1]存储nums[1]。

IndexTree[2]存储nums[1]+nums[2]。

IndexTree[3]存储nums[3]。

IndexTree[4]存储nums[1]+nums[2]+nums[3]+nums[4]。

IndexTree[5]存储nums[5]。

IndexTree[6]存储nums[5]+nums[6]。

IndexTree[7]存储nums[7]。

IndexTree[8]存储nums[1]+nums[2]+nums[3]+nums[4]+nums[5]+nums[6]+nums[7]+nums[8]。

一开始IndexTree[1]存储nums[1]，线长度为1。

然后IndexTree[2]应该存储nums[2]，如果存储nums[2]线长度为1，前面的线长度也是1，和我的相同，于是合并，线长度为2，表示存储nums[1]+nums[2]。

IndexTree[3]应该存储nums[3]，线长度为1，前面线长度是2，不相同，不能合并。因此IndexTree[3]存储nums[3]。

IndexTree[4]应该存储nums[4]，线长度为1，前面线长度也为1，相同合并，此时线长度为2，前面线长度为2，合并，此时线长度为4，表示nums[1]+nums[2]+nums[3]+nums[4]，因此IndexTree[4]=nums[1]+nums[2]+nums[3]+nums[4]。

IndexTree[5]应该存储nums[5],线长度为1,前面线长度为4,不相同,因此IndexTree[5]=nums[5]。

IndexTree[6]应该存储nums[6],线长度为1,前面线长度为1,相同合并,此时线长度为2,前面线长度为4,不相同不能合并,因此IdnexTree[6]=nums[5]+nums[6]。

IndexTree[7]应该存储nums[7],线长度为1,前面线长度为2,不相同不能合并,因此IndexTree[7]=nums[7]。

IndexTree[8]应该存储nums[8],线长度为1,前面线长度为1,合并,此时线长度为2,前面线长度为2,合并此时线长度为4,前面线长度为4,合并此时线长度为8,表示nums[1]~nums[8],因此IndexTree[8]=nums[1]+nums[2]+nums[3]+nums[4]+nums[5]+nums[6]+nums[7]+nums[8]。

如果我要查询nums数组 1~index区间的前缀和。

在IndexTree中，ret+=tree[index].这是第一个位置.

下一个位置是index-=lowbit(index).

ret+=tree[index].

下一个位置是index-=lowbit(index).

直到index越界为止.

index-=lowbit(index)是什么意思?

首先lowbit(index) <==> index&(-index).

意思是在二进制中,保留最低位的1所代表的值.

index-=lowbit(index)意思是抹去最低位的1.

如果我要单点更新nums数组index位置.加上c,IndexTree应该怎么变化?

首先IndexTree[index]+=c.

下一个位置index+=lowbit(index).

IndexTree[index]+=c.

下一个位置index+=lowbit(index).

直到index越界为止.

index+=lowbit(index)意思是加上最低位的1.

如果要查询left~right区间和.

只需要前缀和right减去前缀和left-1.

需要注意的是下标的映射关系.如果nums下标从0开始,IndexTree里面的下标对应的是1~n的下标.

可以想象IndexTree里面有个arr数组,和nums一样,唯一的区别是下标从1开始,IndexTree对应的是arr数组的下标.

IndexTree代码

class IndexTree {
public:int size;  // 树的大小vector<int> tree;  // 树的内部数据结构，用来存储部分和// 构造函数，初始化树的大小IndexTree(int _size) {size = _size + 1;  // 实际大小比输入大小大1，通常是为了方便处理从1开始的下标tree.resize(size);  // 调整内部数组的大小以匹配树的大小}// 计算低位的函数，用于确定区间的边界int lowbit(int i) {return i & -i;  // 返回i的最低位的1所对应的值}// 计算从树的起始位置到给定索引的所有元素的总和int sum(int index) {  // 对内的区间下标int ret = 0;  // 用于存储和的变量while (index > 0) {  // 从给定索引开始向树的根部移动ret += tree[index];  // 累加路径上的值index -= lowbit(index);  // 移动到下一个区间}return ret;  // 返回计算出的和}// 更新树的一个节点，增加一个值void add(int index, int d) {  // 对内的区间下标while (index <= size) {  // 从给定索引开始，向上更新所有相关的节点tree[index] += d;  // 更新当前节点index += lowbit(index);  // 移动到下一个需要更新的节点}}// 计算给定区间[l, r]的和int range(int l, int r) {  // 对外封装的函数，l和r是外界的区间下标return sum(r + 1) - sum(l);  // 通过差分计算区间和}
};int main() {vector<int> nums = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 };  // 初始数组IndexTree it(nums.size());  // 创建一个树状数组的实例for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {it.add(i + 1, nums[i]);  // 初始化树状数组，将nums中的元素逐个添加进去}// 打印从每个元素开始到数组结束的所有区间和for (int left = 0; left < nums.size(); left++) {for (int right = left; right < nums.size(); right++) {cout << it.range(left, right) << " ";  // 输出每个区间的和}cout << endl;  // 每个起始点后换行}return 0;
}