十大排序算法详解-上篇：比较排序算法【python 动态图解】

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1. 引言

在数据驱动的时代，排序算法无处不在，它们是计算机科学的基石之一。无论是在大数据分析、数据库管理、搜索引擎优化，还是在日常软件开发中，有效的排序都是提高效率和性能的关键。但是，排序不仅仅是将数据元素排列成有序序列那么简单，它是一种基础而强大的数据操作，影响着数据结构的选择和算法设计的整体策略。

为什么排序重要？

排序问题的重要性主要体现在以下几个方面：

  1. 数据检索：在排序的数据集上进行搜索比在未排序的数据集上更高效（比如，二分搜索法的前提是数据已排序）。
  2. 数据结构优化：许多数据结构（如优先队列、搜索树等）在内部使用排序机制来提高各种数据操作的效率。
  3. 信息可视化：在数据分析和科学计算中，排序是数据预处理的重要步骤，有助于识别趋势、异常和模式。
  4. 算法优化：许多更复杂的算法（如集合操作或数据库联接操作）的性能可以通过先对数据进行排序来显著提升。

排序的实际应用

实际应用中，排序算法的选择可能会根据具体情况而有很大差异。例如：

  • 在实时系统中，如交易系统，我们可能更倾向于使用时间复杂度最优的排序算法来保证快速响应。
  • 在处理极大数据集的分布式系统中，如使用Hadoop或Spark的环境，排序算法必须能有效地分布在多个节点上处理。
  • 在有严格内存限制的嵌入式系统中，空间效率也许是选择排序算法的决定性因素。

通过探索各种排序算法的性能特点和适用场景，我们不仅可以对它们的工作原理有一个系统的了解，还可以根据实际需要选择或者设计出最适合的算法。

2. 排序算法的分类

  • 比较类排序：基于比较元素之间的大小关系来进行排序。
  • 非比较类排序：不通过比较来决定元素间的顺序。

3. 常见的排序算法详解

					算法思维导图概览

算法思维导图概览

3.1 冒泡排序 (Bubble Sort)
①工作原理
  1. 遍历列表：从列表的第一个元素开始，比较相邻的两个元素。
  2. 比较和交换：如果一对元素是逆序的（即，左边的元素比右边的元素大），则交换它们的位置。
  3. 重复步骤：遍历整个列表，对每一对相邻元素执行步骤2，重复此过程，每次循环结束时，最大的元素会被放置在其最终位置上。
  4. 终止条件：当遍历列表时没有进行任何交换时，说明列表已经完全排序，此时算法结束。
②案例分析 力扣2

对输入的数组进行冒泡排序，输出排序后的数组

​输入：[74,55,35,79,57,71,81,5,82,1]输出：[1,5,35,55,57,71,74,79,81,82]。

内循环（比较与交换）：算法从数组的第一个元素开始，比较相邻的元素对 (j, j+1)。如果 j 位置的元素大于 j+1 位置的元素（对于升序排序），则这两个元素的位置会被交换。这一过程一直重复，直到到达数组的末尾。每完成一轮内循环，都能保证这一轮中最大的元素被"冒泡"到其最终位置（即数组的最右端）。

要注意的优化：防止已经排序的重复执行，通过增加一个标志位 flag ，若在某轮「内循环」中未执行任何交换操作，则说明数组已经完成排序，直接返回结果即可。这个在已经排序好的情况下 可以减少不必要的比较

外循环（迭代排序的过程）：外循环控制内循环的重复执行，每执行完一次内循环后，排序的范围就减少一个元素（因为每次内循环都会将当前未排序部分的最大元素放到正确的位置）。外循环持续进行，直到整个数组排序完成。
在这里插入图片描述
​​​​​动态图
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③代码示例
def bubble_sort(arr):n = len(arr)for i in range(n):# 标记变量，用于优化检测是否有元素交换swapped = False# 最后的元素已经放置好了，每次迭代可以减少一次for j in range(0, n-i-1):# 从头到尾进行比较，不断交换直到最大的数“冒泡”到最后if arr[j] > arr[j+1]:arr[j], arr[j+1] = arr[j+1], arr[j]swapped = True# 如果在某次遍历中没有数据交换，表示已经完成排序，可以提前退出if not swapped:break

使用冒泡排序算法的示例代码体现了算法的直接性和简洁性，但在处理大数据集时，更高效的算法通常是更好的选择。

④算法分析

时间复杂度

  • 最好情况复杂度：(O(n))。当列表已经完全排序时，只需要进行一次遍历，如果没有发生交换，则排序完成。
  • 平均情况复杂度：(O(n^2))。每个元素都需要与其余的( n-1 )个元素比较，并可能需要交换。
  • 最坏情况复杂度：(O(n^2))。当列表完全逆序时，每个元素都需进行( n-1 )次比较和交换。

空间复杂度

  • 空间复杂度：(O(1))。冒泡排序是原地排序算法，除了原始列表，只需要常数级别的额外空间。
3.2 快速排序 (Quick Sort)

快速排序是由英国计算机科学家托尼·霍尔在1960年代提出的一种高效的排序算法。它使用分治策略来把一个序列分为两个子序列，具有较小的元素和较大的元素。

①工作原理
  1. 选择基准值：在数据集中，选择一个元素作为“基准”（pivot）。
  2. 分区操作：重新排列数据，所有比基准值小的元素摆放在基准前面，所有比基准值大的元素摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。在这个分区退出之后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区（partition）操作。
  3. 递归排序：递归地将小于基准值元素的子序列和大于基准值元素的子序列排序。

快速排序的效率在于它可以在划分数组的同时进行排序。

②案例分析 力扣912

给你一个整数数组 nums，请你将该数组升序排列。

示例 1：

输入：nums = [5,2,3,1]
输出：[1,2,3,5]

示例 2：

输入：nums = [5,1,1,2,0,0]
输出：[0,0,1,1,2,5]

在这里插入图片描述

③代码示例
class Solution:def sortArray(self, nums):"""主函数，调用快速排序函数对数组进行排序:param nums: List[int] 需要排序的整数数组:return: List[int] 排序后的数组"""def quickSort(low, high):"""快速排序的递归函数:param low: int 数组的起始索引:param high: int 数组的结束索引"""if low < high:pi = partition(low, high)quickSort(low, pi - 1)quickSort(pi + 1, high)def partition(low, high):"""对数组进行分区，返回基准点索引:param low: int 分区的起始索引:param high: int 分区的结束索引:return: int 基准点的索引"""pivot = nums[high]  # 选取最后一个元素作为基准i = low - 1  # 小于基准的元素的索引for j in range(low, high):if nums[j] < pivot:i += 1nums[i], nums[j] = nums[j], nums[i]  # 交换元素nums[i+1], nums[high] = nums[high], nums[i+1]  # 将基准元素放到正确位置return i + 1quickSort(0, len(nums) - 1)  # 从整个数组的范围开始排序return nums

快速排序因其优异的平均性能和简单的实现成为了排序算法的首选，尤其是在处理大型数据集时。

④算法分析
  • 时间复杂度：
    • 最好情况：(O(n \log n))，通常的情况下是所有排序算法中最快的。
    • 平均情况：(O(n \log n))。
    • 最坏情况：(O(n^2))，当数据已经是正序或者逆序时。
  • 空间复杂度：
    • (O(\log n))，主要是递归造成的栈空间的使用。
3.3 归并排序 (Merge Sort)
①工作原理
  1. 分解：递归地把当前序列平均分割成两半。
  2. 解决：递归地解决每个子序列。
  3. 合并：将两个排序好的子序列合并成一个最终的排序序列。
②案例分析 力扣912

继续用力扣(LeetCode)上“912. 排序数组”问题可以使用归并排序解决。由于归并排序效率高并且稳定，特别适用于大数据集排序。
在这里插入图片描述

③代码示例
class Solution:def sortArray(self, nums: List[int]) -> List[int]:# 如果数组长度大于1，则继续分解if len(nums) > 1:# 找到中间索引，进行分割mid = len(nums) // 2# 分割成两个子数组L = nums[:mid]R = nums[mid:]# 递归排序两个子数组self.sortArray(L)self.sortArray(R)i = j = k = 0# 合并两个有序子数组while i < len(L) and j < len(R):if L[i] < R[j]:nums[k] = L[i]i += 1else:nums[k] = R[j]j += 1k += 1# 将剩余的元素复制到原数组中while i < len(L):nums[k] = L[i]i += 1k += 1while j < len(R):nums[k] = R[j]j += 1k += 1# 返回排序后的数组return nums
④算法分析
  • 时间复杂度：归并排序在最好、最坏和平均情况下都具有 (O(n \log n)) 的时间复杂度。
  • 空间复杂度：由于需要与原数组同等长度的存储空间来存储合并后的数组，所以空间复杂度为 (O(n))。
  • 稳定性：归并排序是一种稳定的排序算法，因为合并操作不会改变相同元素之间的相对顺序。

归并排序尤其适合用于链表类型的数据结构，或者大型数据集合中，因为它能够提供稳定且一致的性能。

3.4 堆排序 (Heap Sort)

堆排序是基于堆数据结构的一种比较排序算法。堆是一种近似完全二叉树的结构，且满足堆积性质：即任意节点的值总是不大于（或不小于）其子节点的值。

①工作原理
  1. 建立堆：将给定无序数组构造成一个最大堆（或最小堆）。
  2. 交换元素：将堆顶元素（最大值或最小值）与数组末尾元素交换，并将堆的有效大小减一。
  3. 恢复堆：将新的未排序的堆顶元素调整到合适位置，以重新满足堆的性质。
  4. 重复步骤：重复步骤2和3，直到堆的有效大小为1，此时数组已经排序完成。
②力扣案例分析

在力扣（LeetCode）上，题号为“215. 数组中的第K个最大元素”可以通过堆排序的方式来解决。堆排序非常适合用于解决此类问题，因为它可以在O(N log N)的时间内排序，同时可以在O(N)时间内构建堆，而且堆结构使得它能以O(log N)时间找到最大或最小值。
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③代码示例
class Solution:def sortArray(self, nums: List[int]) -> List[int]:# 建立最大堆def heapify(arr, n, i):largest = il = 2 * i + 1r = 2 * i + 2if l < n and arr[l] > arr[largest]:largest = lif r < n and arr[r] > arr[largest]:largest = rif largest != i:arr[i], arr[largest] = arr[largest], arr[i]heapify(arr, n, largest)# 主函数，调用堆排序n = len(nums)# 建立堆for i in range(n // 2 - 1, -1, -1):heapify(nums, n, i)# 一个个交换元素for i in range(n-1, 0, -1):nums[i], nums[0] = nums[0], nums[i]heapify(nums, i, 0)return nums
④算法分析
  • 时间复杂度：堆排序的时间复杂度为O(N log N)，其中N是数组的长度。这是因为建立堆的过程是O(N)，而进行N次调整的过程是O(N log N)。
  • 空间复杂度：堆排序是原地排序，不需要额外的存储空间，所以空间复杂度为O(1)。
  • 稳定性：堆排序是不稳定的排序算法，因为在调整堆的过程中，无法保证相同元素的相对顺序不变。

附件

部分动态图片来自：https://github.com/hustcc/JS-Sorting-Algorithm

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