[导读]：超平老师的Scratch蓝桥杯真题解读系列在推出之后，受到了广大老师和家长的好评，非常感谢各位的认可和厚爱。作为回馈，超平老师计划推出《Python蓝桥杯真题解析100讲》，这是解读系列的第55讲。

连续正整数之和，本题是2020年12月20日举办的第12届蓝桥杯青少组Python编程省赛真题，第12届一共有两场省赛，这是第一场。题目要求编程统计连续正整数之和相同的组合数量。

先来看看题目的要求吧。

一.题目说明

提示信息：

从1到10000的连续正整数，其中有多组连续的正整数之和相同。

例如：2，3，4和4，5这两组连续正整数之和都为9。

编程实现：

输入一个正整数S，输出从1到10000连续的正整数中，有多少组连续正整数之和为S。（一组连续正整数最少为两个正整数）例如：输入为9，其中2，3，4和4，5这两组连续正整数之和都为9，则输出2。

输入描述：

输入一个正整数S

输出描述：

输出有几组连续的正整数之和为S

样例输入：

9

样例输出：

2

二.思路分析

这是一道和数学相关的计算题，考查的知识点主要包括循环、条件和枚举算法。

针对本题，通常有如下3种解决方案：

• 暴力枚举

• 前缀和算法

• 数学方法

先来探讨第一种方案，暴力枚举。

这里的关键词是连续正整数，假设存在一组连续的正整数，从 k 开始，一共有n个，如下：

k, k + 1, k + 2, ... k + n - 1  

将它们累加起来，看看是否等于S，如果相等，说明找到了一个组合，然后从 k + 1开始，寻找下一组数据。

在累加过程中，一旦和 > S，则立刻结束累加，然后从 k + 1开始，寻找下一组数据。

所以，解决问题的核心在于累加求和，一般情况下，直接使用循环求和即可，这是最直接的解决方案，也就是暴力枚举的解决思路。

但是，由于要寻找所有可能的组合，这就意味着求和需要重复执行多次，如何提升代码的效率呢？

这就引出了第二种方案，前缀和算法。

前缀和算法是一种常用的优化技术，用于解决涉及连续数据求和的问题。它基于一个简单但强大的思想，通过提前计算并存储列表的前缀和，以便在后续查询中可以快速获取任意区间的和。

我们看一个例子，如图：

有了前缀和列表，要计算连续区间和，只需要确定区间的起点i和终点j，将两者的前缀和相减即可。

这样就避免了重复求和的过程，可以理解为这是带记忆（备忘录）的求和方法，可以极大地提升算法效率。

至于第三种方法--数学方法，就是直接利用数学中的求和公式，直接求和，这里就不介绍了。

思路有了，接下来，我们就进入具体的编程实现环节。

三.编程实现

根据上面的思路分析，我们使用两种方案来编写程序：

• 暴力枚举

• 前缀和算法

1. 暴力枚举

根据前面的分析思路，编写代码如下：

代码其实是比较简单的，说明4点：

1). 这是典型的嵌套循环，外层是for循环，用于确定数字的起点，也就是k的值，内层是while循环，用于求解从k开始的连续正整数和；

2). 注意for循环的终点，由于题目限定了正整数的范围是1~10000，所以当s < 10000时，终点设为s即可，这样可以减少大量不必要的计算，当s >= 10000时，终点就是10000，这里使用了Python独特的if...else赋值语句；

3). 每一次设置好起点后，需要将total（表示和）的初始值设置为0；

4). while循环的条件是 total < s，当total == s时，说明找到一个组合，cnt加1。

2. 前缀和算法

根据前面的思路分析，编写代码如下：

代码不多，也说明3点：

1). presum用于保存1~10000之间所有数字的前缀和，下标和数字一一对应；

2). j的初始值为i+1，确保至少有两位连续整数；

3). 在循环中，当presum[j] - presum[i] > s，就结束内层循环，从而减少不必要的循环。

至此，整个程序就全部完成了，你也可以输入不同的数字来测试效果啦。

四.总结与思考

本题代码在13行左右，涉及到的知识点包括：

• 循环语句，包括for和while；

• 条件语句；

• 枚举算法；

• 列表的使用；

这是本次省赛的最后一题，难度中等，关键是要理清思路，快速找到解决方案。

暴力枚举是最简单的算法，也是计算机解决大部分问题的基础方法。但是我们不能仅仅停留在暴力枚举层面，随着数据规模的增加，枚举的效率会急剧地降低。

因此，我们更要思考如何聪明的枚举，如何高效的枚举，针对不同的问题采取不同的策略，于是就产生了各种各样的算法。

本题中采取的前缀和就是一个典型的例子，通过预处理列表，计算出每个位置的前缀和，并将其保存在一个额外的列表中。

这样，在查询时，我们只需要简单地减去两个前缀和即可得到所需子列表的和，从而将查询时间降低为O(1)的常数复杂度，这是一种典型的用空间换时间的策略。

超平老师给你留一道思考题，如果使用数学方法，该如何解决这个问题呢？

你还有什么好的想法和创意吗，也非常欢迎和超平老师分享探讨。

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