目录

一、介绍

二、一维树状数组

        2.1 区间长度

        2.2 前驱和后继

        2.3 查询前缀和

        2.4 点更新

三、一维数组的实现

        3.1 区间长度函数

        3.2 前缀和

        3.3 插入/更新

        3.4 封装成类

---

一、介绍

        树状数组（Binary Indexed Tree，BIT），又称为 Fenwick 树，是一种高效的数据结构，主要用于动态维护数组的前缀和（或区间和），以及支持单点更新的操作。其核心思想是利用二进制的特性，通过巧妙地设计数据结构，对每一部分设置了一个“管理员”，管理员存储量其管理对象的所和，从而实现快速的区间查询和单点更新操作。因此当需要对前n和数据进行求和的时候就不需要遍历n次，只需要查询对应管理员中的数值即可。

        本篇仅仅介绍一维的树状数组，多维的原理和此是一样的。

二、一维树状数组

        这里需要了解几个关于树状数组的几个定义。

        首先我们定义一个管理数组，也就是上面提到的“管理员”。管理员的个数和一维数组的元素个数相同。

        再定义所有存储的一维数组为。

        2.1 区间长度

        这里的区间长度指的是每一个管理员所管理的具体对象的多少。对于，若的二进制末尾有k个连续的0，则存储的区间长度为，即从向前数个元素的累加和。例如，6的二级制为110，末尾有1个0，区间长度为2，就存储了，即。

        得到二进制末尾连续0的个数的方法是，将该二进制数取反后加一，再与原值做与运算。例如：20的二进制为10100，是原始二进制数，取反后为01011，加1后为01100，此时最低位的1和原数最低位的1的位置是一样的，01100和10100做与运算就得到了00100

        取反

 & 

得到的区间长度为4。这里定义函数得到的是区间的长度。

        2.2 前驱和后继

        直接的前驱为

        直接的后继为

        前驱：的直接前驱，直接前驱的直接前驱...

        后继：的直接后继，直接后继的直接后继...

        2.3 查询前缀和

        前个元素的前缀和等于加上的前驱。例如为加上的前驱。而的前驱为，且没有前驱，故。

        解释一下的前驱。i=5，其二进制为0101，末尾没有0，故区间长度为1（2的0次方），则其前驱为，同理可得没有前驱，故只有一个前驱。

        2.4 点更新

        若对进行了修改，加上了z，则只需要更新以及后继即可，让所有的都加上z。因为该更新只会改变其本身和后继的数值，对前驱是没有影响的。

        需要注意的是，树状数组的下标需要从1开始，否则会出现死循环。

三、一维数组的实现

        3.1 区间长度函数

        在计算机中，使用二进制的补码进行表示刚好是  取反加1，因此

int lowbit(int i)
{return (-i) & i;	//计算区间区间的大小
}

        3.2 前缀和

int sum(int i)
{int s = 0;for (; i > 0; i -= lowbit(i)){s += c[i];}return s;
}

        3.3 插入/更新

        该函数可以用来更新数值，也可以用来创建树状数组。只要把初始化为0， 遍历插入即可。

void add(int i, int z)
{for (; i <= 9; i += lowbit(i)){c[i] += z;}

        3.4 封装成类

class BITree
{
private:std::vector<int> c;			//存储树的节点和int size;					//数组的大小int lowbit(int i);			//计算区间的大小
public:BITree(int n);				//输入数据量void Update(int i, int z);	//修改数据int sum(int i);			//查询
};BITree::BITree(int n)
{size = n;c.resize(n + 1, 0);
}int BITree::lowbit(int i)
{return (-i) & i;
}void BITree::Update(int i, int z)
{for (; i <= 9; i += lowbit(i)){c[i] += z;}
}int BITree::sum(int i)
{int s = 0;for (; i > 0; i -= lowbit(i)){s += c[i];}return s;
}

测试：

int main()
{int a[9] = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 };for (int i = 0; i < 9; i++){add(i + 1, a[i]);}std::cout << sum(9) << std::endl;BITree tree(9);for (int i = 0; i < 9; i++){tree.Update(i + 1, a[i]);}std::cout << tree.sum(4) << std::endl;return 0;
}