C++进阶：AVL树详解及模拟实现（图示讲解旋转过程）

C++进阶：AVL树详解及模拟实现（图示讲解旋转过程）

之前在搜索二叉树最后早就埋下伏笔，来介绍AVL树和红黑树，今天就先来第一个吧

文章目录

  • 1.AVL树介绍
    • 1.1概念介绍
    • 1.2核心性质
  • 2.项目文件规划
  • 3.整体框架（节点和Tree）
  • 4.AVL树的新节点插入
    • 4.1新节点插入当前节点的右子树的右子树——左旋转
      • 左旋 (Left Rotation)
        • 情况：
        • 操作：
    • 4.2新节点插入当前节点的左子树的左子树——右旋转
      • 右旋 (Right Rotation)
        • 情况：
        • 操作：
    • 4.3新节点插入当前节点的左子树的右子树——左右双旋
      • 左右双旋（LR旋转）
    • 4.4新节点插入当前节点的右子树的左子树——右左双旋
      • 右左旋（RL旋转）
    • 4.5组装完整版Insert（）
  • 5.中序方便过会测试
  • 6.编写函数看是否满足要求
    • 6.1求高度
    • 6.2 平衡否
  • 7.测试
  • 8.全部代码
    • 8.1 AVLTree.h
    • 8.2 test.cpp

1.AVL树介绍

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法，人为规定：

当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度

1.1概念介绍

  1. AVL树定义：
    • 解释AVL树是一种自平衡的二叉搜索树，由G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis在1962年提出。
    • 强调AVL树中每个节点的平衡因子（Balance Factor），即左子树高度和右子树高度之差不超过1。
  2. 平衡因子：
    • 解释平衡因子的概念，即一个节点的左子树高度减去右子树高度的值。
    • 平衡因子为{-1, 0, 1}时，树是平衡的。
  3. 自平衡性质：
    • 说明AVL树具有自平衡性质，即在插入或删除节点时，会通过旋转操作来保持树的平衡。
    • 提及AVL树的平衡因子限制，确保树的高度保持在对数级别。

AVL1

1.2核心性质

  1. 严格平衡：

    • 强调AVL树的严格平衡性质，即每个节点的左右子树高度差不超过1。
    • 严格平衡性质保证了AVL树的高度近似于对数级别，保证了高效的插入、删除和查找操作。

  2. 插入和删除操作：

    • 介绍当插入或删除节点时，AVL树如何通过旋转操作来保持平衡。
    • 解释插入和删除操作可能会导致树失去平衡，需要通过单旋转、双旋转等操作进行调整。

  3. 时间复杂度：

    • 说明AVL树的插入、删除和查找操作的时间复杂度都是O(log n)，其中n为树中节点的数量。
    • 强调AVL树在动态数据集合中的高效性，适用于需要频繁更新的场景。

2.项目文件规划

在这里插入图片描述

头文件AVLTree.h：进行模拟的编写

源文件test.cpp：进行测试，检查代码逻辑是否满足期望

3.整体框架（节点和Tree）

template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;//父亲节点int _bf; // balance factor 平衡因子pair<K, V> _kv;//每个节点里存一个pairAVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0), _kv(kv)//都直接在初始化列表里初始化了{}
};template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;//名字太长了，叫Node也更好理解
public:private:Node* _root = nullptr;//给上缺省值
};

4.AVL树的新节点插入

基本步骤：

  1. 查找插入位置： 首先，我们需要找到新节点应该插入的位置。从根节点开始，按照二叉搜索树的性质，逐级向左或向右比较键值，直到找到一个合适的位置。
  2. 插入新节点： 找到插入位置后，我们创建一个新的节点，并将其插入到树中。如果树为空，则新节点成为树的根节点。否则，将新节点插入到合适的位置，使得树仍然保持二叉搜索树的性质。
  3. 更新平衡因子： 在插入新节点后，需要沿着插入路径更新所有受影响节点的平衡因子。平衡因子是指节点的左右子树的高度差。如果插入导致某个节点的平衡因子超出范围（通常是 -1、0、1），则需要进行旋转操作来恢复平衡。
  4. 平衡调整： 如果插入操作破坏了 AVL 树的平衡性，我们需要进行一系列的旋转操作来重新平衡树。旋转操作包括单旋转和双旋转，具体的旋转方式取决于插入节点的位置以及平衡因子的情况。
  5. 旋转后继续向上： 插入节点后，可能需要对父节点、祖父节点等进行旋转操作，直到树恢复平衡为止。
	bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr)//如果是空树{_root = new Node(kv);return true;//插入成功}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur)//这里开始找位置{if (kv.first < cur->_kv.first)//小于往左走{parent = cur;cur = cur->_left;}else if (kv.first > cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false;//不能有相等的}}//开始把新节点链接上cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;//更新平衡因子while (parent != nullptr)//cur到跟节点停下{if (cur == parent->_left)//在左就--{parent->_bf--;}else//在右++{parent->_bf++;}//开始检查父亲节点的情况if (parent->_bf == 0){break;//直接停止}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = cur->_parent;//向上走}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//破坏了规则了，开始旋转}else{// 会到这说明插入之前AVL树就有问题assert(false);}}}

更新平衡因子过程：

更新的原则如下：

  • 如果新节点插入到父节点的左侧，则父节点的平衡因子减一。
  • 如果新节点插入到父节点的右侧，则父节点的平衡因子加一。

更新后，需要检查父节点的平衡因子是否发生变化，如果发生变化，则继续向上检查祖先节点的平衡因子，直到根节点或者到达一个平衡因子为 ±1 的节点为止。根据更新后节点的平衡因子情况，可以采取以下处理措施：

  • 如果节点的平衡因子为 0，表示节点所在子树的高度没有变化，不会影响祖先节点的平衡因子，更新结束。
  • 如果节点的平衡因子为 ±1，表示节点所在子树的高度变化（本来是0，现在变成 ±1，子树高度变了），会影响祖先节点的平衡因子，需要继续向上更新祖先节点的平衡因子。
  • 如果节点的平衡因子为 ±2，表示节点所在子树违反了平衡规则，需要进行平衡调整操作（如旋转），然后更新结束。

4.1新节点插入当前节点的右子树的右子树——左旋转

左旋 (Left Rotation)

左旋的情况是当一个节点的右子树过高，需要进行左旋来降低右子树的高度，同时保持树的平衡。

情况：
  1. 新节点插入到当前节点的右子树的右子树中，导致当前节点的平衡因子为 +2。
  2. 在双旋的过程中，当左子树的平衡因子为 -1，右子树的平衡因子为 +1。
操作：

左旋是指将当前节点向左旋转，使得当前节点的右子树的左子树成为当前节点的右子树，同时将当前节点成为其右子树的左子树。

    A                     B/ \                   / \T1  B       ==>       A   T3/ \               / \T2  T3            T1  T2

AVL2

	void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;//要成为根的Node* subRL = subR->_left;//要成为30的右子树parent->_right = subRL;if (subRL != nullptr)subRL->_parent = parent;subR->_left = parent;Node* pparent = parent->_parent;//存一下，新根才能链接parent->_parent = subR;if (parent == _root){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent)//parent在pp的左，那我新的跟subR也要左{ppnode->_left = subR;}else//同理{ppnode->_right = subR;}subR->_parent = ppnode;}//更新平衡因子parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;}

4.2新节点插入当前节点的左子树的左子树——右旋转

右旋 (Right Rotation)

右旋的情况是当一个节点的左子树过高，需要进行右旋来降低左子树的高度，同时保持树的平衡。

情况：
  1. 新节点插入到当前节点的左子树的左子树中，导致当前节点的平衡因子为 -2。
  2. 在双旋的过程中，当左子树的平衡因子为 -1，右子树的平衡因子为 +1。
操作：

右旋是指将当前节点向右旋转，使得当前节点的左子树的右子树成为当前节点的左子树，同时将当前节点成为其左子树的右子树。

    A                     B/ \                   / \B   T3       ==>     T1   A/ \                       / \
T1  T2                    T2  T3

在这里插入图片描述

void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;subL->_right = parent;Node* ppnode = parent->_parent;parent->_parent = subL;if (parent == _root){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = subL;}else{ppnode->_right = subL;}subL->_parent = ppnode;}subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}

4.3新节点插入当前节点的左子树的右子树——左右双旋

当新节点插入当前节点的左子树的右子树时，会触发左右双旋操作（LR旋转）。这种情况发生在当前节点的左子树的右子树上插入了新节点，导致当前节点的平衡因子不平衡（可能为+2或-2），且当前节点的左子树的右子树的平衡因子为正值（+1）。为了恢复 AVL 树的平衡性，需要先对当前节点的左子树进行一次左旋操作，然后再对当前节点进行一次右旋操作。

左右双旋（LR旋转）

具体步骤如下：

  1. 对当前节点的左子树进行一次左旋操作。
  2. 对当前节点进行一次右旋操作。

示例：

假设当前节点为 A，新节点插入在 A 的左子树的右子树的情况下，左右双旋操作如下：

        A                        A                        C/ \                      / \                      / \B   T4    左旋后         C   T4    右旋后         B   A/ \      --------->     / \       --------->    / \ / \T1   C                   B   T3                  T1 T2 T3 T4/ \                 / \T2  T3              T1  T2

void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;//存一下，后面要更新bfRotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == -1){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if (bf == 1){subLR->_bf = 0;subL->_bf = -1;parent->_bf = 0;}else if (bf == 0){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}

4.4新节点插入当前节点的右子树的左子树——右左双旋

右左旋（RL旋转）

右左旋操作发生在节点的右子树过深，导致平衡因子为 -2 且其右子节点的平衡因子为 +1 的情况下。具体步骤如下：

  1. 对 A 的右子树进行一次左旋操作。
  2. 再对 A 进行一次右旋操作。

示例：

    A                     A                    C/ \                   / \                  / \T1  B       ==>      T1   C      ==>       A   B/ \                   / \              / \ / \C   T4                T2  B            T1 T2 T3 T4/ \                       / \T2  T3                    T3  T4

void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(subR);RotateL(parent);subRL->_bf = 0;if (bf == 1){subR->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1){parent->_bf = 0;subR->_bf = 1;}else{parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;}}

4.5组装完整版Insert（）

bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr)//如果是空树{_root = new Node(kv);return true;//插入成功}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur)//这里开始找位置{if (kv.first < cur->_kv.first)//小于往左走{parent = cur;cur = cur->_left;}else if (kv.first > cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false;//不能有相等的}}//开始把新节点链接上cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;//更新平衡因子while (parent != nullptr)//cur到跟节点停下{if (cur == parent->_left)//在左就--{parent->_bf--;}else//在右++{parent->_bf++;}//开始检查父亲节点的情况if (parent->_bf == 0){break;//直接停止}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = cur->_parent;//向上走}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//破坏了规则了，开始旋转if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}else{RotateRL(parent);}break;//调整完后就平衡了，也不用向上，直接出去}else{// 会到这说明插入之前AVL树就有问题assert(false);}}}

5.中序方便过会测试

	void InOrder(){_InOrder(_root);}void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << "[" << root->_bf << "]" << endl;_InOrder(root->_right);}

6.编写函数看是否满足要求

只要有一个节点的左子树与右子树的高度差距大于等于2，那么就不满足了

从这里也能看出要写一个求高度函数更方便

6.1求高度

	int Height(){_Height(_root);}int _Height(Node* root){if (root == nullptr){return 0;}int right = _Height(root->_right);int left = _Height(root->_left);return right > left ? right + 1 : left + 1;}

这段代码实现了 AVL 树的高度计算和平衡性检查功能。

_Height 函数:

这个函数用于计算给定树的高度。递归地计算左右子树的高度，然后返回较大的子树高度加上 1。这个函数被用于计算整棵树的高度。

Height 函数:

这个函数是对外提供的接口，用于获取 AVL 树的高度。它调用 _Height 函数并传入根节点，返回整棵 AVL 树的高度。

6.2 平衡否

	bool IsBalance(){int height = 0;return _IsBlance(_root, height);}bool _IsBlance(Node* root, int& h){if (root == nullptr){h = 0;return true;}int leftHeight = 0, rightHeight = 0;if (!_IsBlance(root->_left, leftHeight)|| !_IsBlance(root->_right, rightHeight)){return false;}if (abs(rightHeight - leftHeight) >= 2){cout << root->_kv.first << "不平衡" << endl;return false;}h= leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;return true;}

_IsBalance 函数:

这个函数用于检查 AVL 树的平衡性。它递归地检查树的每个节点，计算左右子树的高度并比较它们的差值，如果差值大于等于 2，则表示不平衡。此外，还检查每个节点的平衡因子是否正确，即右子树高度减去左子树高度等于节点的平衡因子。如果平衡因子异常，则表示树不平衡。

IsBalance 函数:

这个函数是对外提供的接口，用于检查整棵 AVL 树的平衡性。它调用 _IsBalance 函数并传入根节点，返回整棵 AVL 树是否平衡的结果。

这些函数的实现是 AVL 树的重要部分，用于确保 AVL 树保持平衡性和正确性。

7.测试

void TestAVLTree1()
{int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };AVLTree<int, int> t;for (auto e : a){t.Insert(make_pair(e, e));cout << e << "->" << t.IsBalance() << endl;}t.InOrder();cout << t.IsBalance() << endl;
}

在这里插入图片描述

8.全部代码

8.1 AVLTree.h

#pragma oncetemplate<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;//父亲节点int _bf; // balance factor 平衡因子pair<K, V> _kv;//每个节点里存一个pairAVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0), _kv(kv)//都直接在初始化列表里初始化了{}
};template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;//名字太长了，叫Node也更好理解
public:void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;//要成为根的Node* subRL = subR->_left;//要成为30的右子树parent->_right = subRL;if (subRL != nullptr)subRL->_parent = parent;subR->_left = parent;Node* ppnode = parent->_parent;//存一下，新根才能链接parent->_parent = subR;if (parent == _root){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent)//parent在pp的左，那我新的跟subR也要左{ppnode->_left = subR;}else//同理{ppnode->_right = subR;}subR->_parent = ppnode;}//更新平衡因子parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;}void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;subL->_right = parent;Node* ppnode = parent->_parent;parent->_parent = subL;if (parent == _root){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = subL;}else{ppnode->_right = subL;}subL->_parent = ppnode;}subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;//存一下，后面要更新bfRotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == -1){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if (bf == 1){subLR->_bf = 0;subL->_bf = -1;parent->_bf = 0;}else if (bf == 0){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(subR);RotateL(parent);subRL->_bf = 0;if (bf == 1){subR->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1){parent->_bf = 0;subR->_bf = 1;}else{parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;}}bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr)//如果是空树{_root = new Node(kv);return true;//插入成功}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur)//这里开始找位置{if (kv.first < cur->_kv.first)//小于往左走{parent = cur;cur = cur->_left;}else if (kv.first > cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false;//不能有相等的}}//开始把新节点链接上cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;//更新平衡因子while (parent != nullptr)//cur到跟节点停下{if (cur == parent->_left)//在左就--{parent->_bf--;}else//在右++{parent->_bf++;}//开始检查父亲节点的情况if (parent->_bf == 0){break;//直接停止}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = cur->_parent;//向上走}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//破坏了规则了，开始旋转if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}else{RotateRL(parent);}break;//调整完后就平衡了，也不用向上，直接出去}else{// 会到这说明插入之前AVL树就有问题assert(false);}}}void InOrder(){_InOrder(_root);}void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << "[" << root->_bf << "]" << endl;_InOrder(root->_right);}int Height(){_Height(_root);}int _Height(Node* root){if (root == nullptr){return 0;}int right = _Height(root->_right);int left = _Height(root->_left);return right > left ? right + 1 : left + 1;}bool IsBalance(){int height = 0;return _IsBlance(_root, height);}bool _IsBlance(Node* root, int& h){if (root == nullptr){h = 0;return true;}int leftHeight = 0, rightHeight = 0;if (!_IsBlance(root->_left, leftHeight)|| !_IsBlance(root->_right, rightHeight)){return false;}if (abs(rightHeight - leftHeight) >= 2){cout << root->_kv.first << "不平衡" << endl;return false;}h= leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;return true;}private:Node* _root = nullptr;//给上缺省值
};void TestAVLTree1()
{int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };AVLTree<int, int> t;for (auto e : a){t.Insert(make_pair(e, e));cout << e << "->" << t.IsBalance() << endl;}t.InOrder();cout << t.IsBalance() << endl;
}

8.2 test.cpp

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<iostream>
using namespace std;
#include<assert.h>#include"AVLTree.h"
int main()
{TestAVLTree1();return 0;
}

今天就到这里啦！！下一次肯定是红黑树啦！！！

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休止符 音乐中总有一些停顿的地方&#xff0c;一次停顿多久是创作人固定好的&#xff0c;休止符就是用来表示每一次停顿多久 需要停顿的位置就用 0 来表示&#xff0c;数字 0 就是简谱中的休止符 音符有全音符、二分音符、四分音符、八分音符、十六分音符、三十二分音符等&…
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一、背景 现在的越来越多的项目&#xff0c;需要集成第三方系统进行登录。今天我们以Spring Boot项目集成Gitee为例&#xff0c;演示一下怎么使用Oauth2协议&#xff0c;集成第三方系统登录。 不了解oauth2的&#xff0c;可以看我之前的文章。Ouath2是怎么实现在第三方应用认…
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