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大家好，我是钱哥，我来写一下 PKUSC2024 最短路径 的题解。没有做过这个题的同学可以先自行做一做。
我们下面来讲解一下如何一步步解决这个题目。
subtask 4
首先，我们来解决第一个具有挑战性的子任务：\(m \leq 2.5 n\)，这个点具有一个比较显然的性质，点的度数不大。
大家来发挥一下想象力，由一个点 \(s\) 为根最短路树，几乎是以指数级展开的，因此，我们可以联想到我们普及组就学习过的算法：折半搜索。
在这个题上，我们可以执行双向 dijkstra，由 \(s\) 与 \(t\) 分别开始 dijkstra（当然，\(t\) 在反图上跑）。
当两个点的 dijkstra 相遇了，我们找到了最短路吗？很可惜，并没有。
我们发现，即使两边的 dijkstra 相遇在了 \(x\)，经过红色边的路径依旧可能是最短路径。
好在，我们简单分析一下，我们可以发现两边相遇过后，最多有一条不在最短路上的边。因此，我们可以枚举一侧的点，枚举它的出边，找到所有可能的路径。
现在我们来分析一下我们算法的复杂度，假设我们双向 dijkstra 一共访问了 \(S\) 个点，如果所有点度数比较平均，那么它们度数都是 \(O(m/n)\) 的，那么经过不严谨的猜测，我们整个算法的复杂度为：\(O(S * m/n + S \log S)\)，其中前者是我们 dijkstra 需要松弛的边数（也是我们枚举红色边的条数），后者是堆。
那么问题来了，\(S\) 可以控制到多大呢？
双向 dijkstra
我们来分析一下 dijkstra 的行为：
q.emplace(0, S);
while (!q.empty()) {auto [d, u] = q.top(); q.pop();if (dis[u] != -1) continue;dis[u] = d;for (auto [v, w] : e[u]) {q.emplace(d + w, v);}
}
这份 dijkstra 可能和大家写法并不完全相同，但是完全可以看出是正确的 dijkstra。我们其实可以看到，每条边的目标点，事实上只有在第 \(4\) 行才第一次被用到（尽管它可能很早就在堆里了），在这之前，它完全不会影响整个代码的运行。因此，事实上每次到第 \(4\) 行时候，\(u\) 都是一个在 \([1, n]\) 中均匀独立随机生成的变量！
如果你仔细思考一下，你会发现，在双向 dijkstra 相遇之前，事实上两边也是互相独立的。因此，这个过程就像生日悖论一样，如果每次扩展最短路树上点少的一侧，期望只要扩展 \(O(\sqrt{n})\) 次，我们就可以找到相遇的点。
除此之外，我们可以发现，最短路树的点之间的所有边也是 \(O(\sqrt{n})\) 条（事实上，每次一个元素出堆就对应了一条边，而不是一个点）。
让我们回到 subtask 4，我们可以发现，此时这个算法的时间复杂度大约为 \(O(\sqrt{n} \log{n})\)，这足以让我们通过这个子任务。
subtask 2
相信你发现了，上面的算法甚至没有办法通过子任务 \(2\)。虽然这个子任务是给大家各显神通的，但是如果你仔细思考，你就会发现度数在整个题目的影响是非常大的。下面我们来介绍，如何处理 dijkstra 中，每个点度数很大，导致松弛边过多。
如果你做过 \(k\) 短路，或者类似的题，它们都有用到这个技巧：我们注意到由一个点出发的边，肯定是边权小的会先出堆，因此，如果我们预先将每个点的出边按照边权排序，我们可以只往堆中塞入第一条边，当第一条边出堆时候，再把第二条边塞入堆中。如此操作，堆中的边数就线性于出堆次数了，我们也就解决了这个艰难的问题。
你也许想问，到这里，我们还是没有解决枚举中间边的复杂度，事实上，这个子任务我们只要跑单向 dijkstra 就可以了（×），因为每次到的点是独立均匀随机的，因此只有期望 \(O(n)\) 次堆操作，所以复杂度为 \(O(qn\log n + m \log m)\)（如果你写了这个算法被卡常了，那我对不起你 
）。
最终算法
下面我们要迎接我们的最终算法了，非常精彩！
我们现在已经可以用 \(O(\sqrt{n} \log{n})\) 的期望时间跑出相遇点了，我们下面要处理如何快速找到可能的中间边的问题。
我们考虑一下这条路径：\(s \rightarrow a \color{red}{\rightarrow} b \rightarrow t\)，它的距离是 \(dist_{s, a} + e_{a, b} + dist_{b, t}\)，而我们知道，\(dist_{s, a} \leq dist_{s, x}, dist_{b, t} \leq dist_{x, t}\)，因此，我们这条边肯定不能太长，\(e_{a, b} \leq (dist_{s, x} - dist_{s, a}) + (dist_{x, t} - dist_{a, t})\)，显然，\(e_{a, b} \leq 2 \max(dist_{s, x} - dist_{s, a}, dist_{x, t} - dist_{a, t})\)，我们考虑在大的一侧找这条边，假设是 \(a\) 侧，也就是我们要找到 \(a\) 所有边权 \(\leq 2 (dist_{s, x} - dist_{s, a})\) 的出边。
那么边权 \(\leq 2 (dist_{s, x} - dist_{s, a})\) 的出边多不多呢，直觉上是不多的，因为看起来就和边权 \(\leq (dist_{s, x} - dist_{s, a})\) 的出边差不了两倍嘛！后者就是最短路树内部的边，根据我们之前的说法，只有 \(O(\sqrt{n})\) 条，所以我们这么枚举边数肯定不多！
如果你只想感性理解，这里就结束了，时间复杂度为 \(O(q\sqrt{n}\log{n} + m\log{m})\)。但是严谨的来说，我们知道 \(a\) 的出边边权和 \((dist_{s, x} - dist_{s, a})\) 并不独立，我们还得证明 \(\leq 2 (dist_{s, x} - dist_{s, a})\) 的出边不多。
证明
定理：我们有至少 \(1-O(n^{5})\) 的概率，对于任意 \(a, v\)，记 \(A\) 为 \(a\) 出边边权 \(\leq v\) 的边数，\(B\) 为 \(\leq 2v\) 的边数，我们有：\(B < 64\log n + 4A\)。
证明：
对于一对固定的 \((a, v)\)，我们先掏出 \(a\) 所有边权 \(\leq 2v\) 的出边，一共有 \(B\) 条，在这个前提下，每条边有 \(\frac{1}{2}\) 的概率边权 \(\leq v\)，且独立。
如果 \(B < 64 \log_2 n\)，显然成立。不然，根据 Chernoff Bound，\(Pr[A \leq \frac{B}{4}] \leq e^{-\frac{B}{8}} \leq e^{8\log_2 n} \leq n^{-8}\)，也就是说几乎一定成立。
根据 Union Bound，我们可以得知，所有 \((a, v)\) 成立的概率至少有 \(1 - n^{-8} \times n \times V\)，至于怎么把 \(V\) 去掉，我懒得写了。
这个证明多带了一个 \(\log\)，确实不太优美，但是并不影响时间复杂度，当然，实测一下还是比较像 \(O(\sqrt{n})\) 的。
