线性代数基础知识
此处只补充部份线代内容。
向量点乘
公式：\(\vec{a} \cdot \vec{b} = ||\vec{a}|| ||\vec{b}|| \cos \theta\)
同时也可以获得两个向量的余弦角：\(\cos\theta = \dfrac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{||\vec{a}|| ||\vec{b}||}\)
如果是单位向量的话，模长为1，于是有：\(\cos\theta = \vec{a}\cdot \vec{b}\)
笛卡尔坐标系下的点乘为逐点相乘后相加：
In 2d Cartesian Coordinates:
\[\vec{a} \cdot \vec{b} =
\begin{pmatrix}
x_a \\ y_a
\end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix}
x_b \\ y_b
\end{pmatrix} =
x_a x_b + y_a y_b
\]
In 3d Cartesian Coordinates:
\[\vec{a} \cdot \vec{b} =
\begin{pmatrix}
x_a \\ y_a \\ z_a
\end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix}
x_b \\ y_b \\ z_b
\end{pmatrix} =
x_a x_b + y_a y_b + z_az_b
\]
用点乘获得向量投影：
- \(\vec{b}_{\bot}\)表示向量\(\vec{b}\)在向量向量\(\vec{a}\)上的投影
- \(\vec{b}_{\bot}\)方向一定和\(\vec{a}\)的单位向量\(\hat{a}\)同向或反向：\(\vec{b}_{\bot} = k\hat{a}\)
- \(k\)具体值如下：
\[k = ||\vec{b}_{\bot}|| = ||\vec{b}|| \cos \theta
\]
点乘的一些应用：
-
测量两个向量的方向差
用点乘公式获得余弦角。
-
分解向量：
利用投影将向量\(\vec{b}\)分解到向量\(\vec{a}\)的方向上，获得\(\vec{b}_\bot\)，然后让\(\vec{b}\)减去该投影向量\(\vec{b}_\bot\)获得剩余向量\(\vec{b} - \vec{b}_\bot\)，获得了\(\vec{b}\)的两组正交向量\(\vec{b}_\bot\)和\(\vec{b} - \vec{b}_\bot\)。
-
判断两个向量是否是前向/反向：
点乘的结果是正数，根据公式可知余弦角小于90度，表示两个向量都是前向的；相反如果结果是负数，说明余弦角大于90度，两个向量是反向的。
