【数据结构与算法】普里姆算法-编程知识

【数据结构与算法】普里姆算法

普里姆算法

最小生成树

最小生成树，简称MST。

给定一个带权的无向连通图，如何选取一棵生成树，使树上所有边上权的总和为最小，这就叫最小生成树。
N 个顶点，一定有 N - 1 条边
半酣全部顶点
N - 1 条边都在图中
举例说明：

在这里插入图片描述

求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。

介绍

普里姆算法求最小生成树，也就是在包含 n 个顶点的连通图中，找出只有（n - 1）条边包含所有 n 个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图
普里姆算法如下：
1. 设 G = (V,E) 是连通网，T = (U,D) 是最小生成树，V，U是顶点集合，E，D是边的集合
2. 若从顶点 U 开始狗仔最小生成树，则从集合 V 中取出顶点 U 放入集合 U 中，标记顶点的 visited[U] = 1
3. 若集合 U 中顶点 ui 与集合 V - U 中的顶点 vj 之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点 vj 加入集合 U 中，将边（ui，vj）加入集合 D 中，标记 visitedvj = 1
4. 重复步骤 2，直到 U 与 V 相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时 D 中有 n - 1 条边

普里姆算法最佳实践 - 修路问题

在这里插入图片描述

有胜利乡有 7 个村庄{A,B,C,D,E,F,G}，现在需要修路把 7 个村庄连通
各个村庄的距离用边线表示（权），比如 A - B 距离 5 公里
问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短？

代码实现

public class PrimAlgorithm {public static void main(String[] args) {// 测试char[] data = new char[]{'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};int verxs = data.length;int[][] weight = new int[][]{{10000,5,7,10000,10000,10000,2},{5,10000,10000,9,10000,10000,3},{7,10000,10000,10000,8,10000,10000},{10000,9,10000,10000,10000,4,10000},{10000,10000,8,10000,10000,5,4},{10000,10000,10000,4,5,10000,6},{2,3,10000,10000,4,6,10000}};MGraph graph = new MGraph(verxs);MinTree minTree = new MinTree();minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight);minTree.showGraph(graph);minTree.prim(graph,0);}
}// 创建最小生成树
class MinTree {/*** 创建图的邻接矩阵** @param graph  图对象* @param verxs  图对应的顶点个数* @param data   图的各个顶点的值* @param weight 图的邻接矩阵*/public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char[] data, int[][] weight) {int i, j;for (i = 0; i < verxs; i++) {graph.data[i] = data[i];for (j = 0; j < verxs; j++) {graph.weight[i][j] = weight[i][j];}}}/*** 显示图的邻接矩阵** @param graph 图对象*/public void showGraph(MGraph graph) {for (int[] link : graph.weight) {System.out.println(Arrays.toString(link));}}/*** 编写 prim 算法，得到最小生成树** @param graph 图对象* @param v     表示从图的第几个顶点开始生成*/public void prim(MGraph graph, int v) {// visited 标记点是否被访问过int[] visited = new int[graph.verxs];// 把当前这个节点标记为已访问visited[v] = 1;// h1 和 h2 记录两个顶点的下标int h1 = -1;int h2 = -1;int minWeight = 10000; // 将 minWeight 初始为一个大数，后面遍历的过程中，会被替换for (int k = 1; k < graph.verxs; k++) { // 因为有 graph.verxs 顶点，普里姆算法结束后，有 graph.verxs - 1 个边// 这个是确定每一次生成的子图，和哪个节点的距离最近for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) { // i 节点表示被访问过的节点for (int j = 0; j < graph.verxs; j++) { // j 节点表示还没有被访问过的节点if(visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight){// 替换 minWeight （寻找已经访问的节点和未访问的节点间的权值最小的边）minWeight = graph.weight[i][j];h1 = i;h2 = j;}}}// 找到一条边是最小System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + ">权值：" + minWeight);// 将当前找到的节点标记为已经访问visited[h2] = 1;// 重新将 minWeight 设置为最大值minWeight = 10000;}}
}class MGraph {int verxs; // 表示图的节点的个数char[] data; // 存放节点数据int[][] weight; // 存放边，就是我们的邻接矩阵public MGraph(int verxs) {this.verxs = verxs;this.data = new char[verxs];this.weight = new int[verxs][verxs];}
}