概述
树链剖分能将一棵树剖分成若干条链的形式。从而能在树上用一些线性数据结构如线段树，树状数组等维护。树链剖分分为重链剖分，长链剖分，LCT 剖分等。最常用的是重链剖分。本文将讲解重链剖分。
本文将持续更新。
我们接下来给出一些定义。
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重儿子：指一个节点所有儿子中，子树最大的儿子。
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轻儿子：指一个节点除了重儿子其他的儿子。
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重边：连接一个节点和它重儿子的边。
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轻边：连接一个节点和它轻儿子的边。
（图源 https://blog.csdn.net/qq_41418281/article/details/108220247 ，侵删。）
在上图中，红色的节点即为重儿子，红色的边为重链。黄色的点和黄色的边分别对应其轻儿子和轻链。
实现
实现重链剖分，我们需要两边 dfs。第一遍 dfs 预处理出重儿子，每个节点的父节点（便于后面操作），子树大小（重儿子），节点深度（便于后面操作）。
第二遍 dfs，我们找到每条重链的链头（top）
这里给出参考代码。
重链剖分
void dfs1(int p, int d)
{int size = 1, ma = 0;depth[p] = d;for (auto q : Edge[p])if (!depth[q]){dfs1(q, d + 1);f[q] = p;size += siz[q];if (siz[q] > ma)son[p] = q, ma = siz[q];}siz[p] = size;
}
void dfs2(int p)
{
// cout<<u<<"qwq"<<endl;;for(auto q:Edge[p]){if(!top[q]) {if(q == son[p]) top[q] = top[p];else top[q] = q;dfs2(q);}}
}
性质
通过上图，不难发现，重链是一条以轻儿子为链头的一条链（根节点除外），而轻链是连接重链与重链之间的桥梁。每个重链的链头的父亲一定在另外一条重链上。因此，我们记录每个节点的父亲，每条链的链头，就能快速实现重链与重链之间的跳跃。
其次，每个节点最多只能位于一条重链上。且一棵节点数量为 \(n\) 的树，从树上任意一条节点走到根节点，所经过的轻边数量不超过 \(\log n\) 条。
剖分完成后，我们便能在树上实现快速跳跃，重链剖分求解 LCA 是一种典型应用。下文将讲解。
重链剖分求 LCA
下文假设要求 \(a,b\) 的 LCA。
首先，若 \(a,b\) 位于同一条链上，则 LCA 即为深度较小的那个点。
若不在同一条链上。则 LCA 要么在链头深度较小的那条链上，要么就是两个链头的 LCA。绝不可能在链头深度较大的链上。这很显然，一条链只有到了链头才有轻边与其他重链连接。因此，我们不断让链头深度较大的往上跳到上一条链，直到到达同一条链为止。
具体实现见代码。
重链剖分求 LCA（省去重链剖分部分）
int lca(int a,int b)
{if(a > b) swap(a,b);while(top[a] != top[b]){// cout<<a<<" "<<b<<endl;if(depth[top[a]] > depth[top[b]]) a = f[top[a]];else b = f[top[b]];}return (depth[a] > depth[b] ? b : a);
}
