积分中值定理的证明：
因为 \(f\) 是闭区间上的连续函数，\(f\) 取得最大值 \(M\) 和最小值 \(\mu\)。于是
\[Mg(x) \geq f(x)g(x) \geq \mu g(x).
\]
对不等式求积分，我们有
\[M\int_{\alpha}^{\beta}g(x)dx \geq \int_{\alpha}^{\beta}f(x)g(x)dx \geq \mu \int_{\alpha}^{\beta}g(x)dx.
\]
若 \(\int_{\alpha}^{\beta}g(x)dx=0\), 则 \(\int_{\alpha}^{\beta}f(x)g(x)dx=0\)。\(\xi\)可取 \([\alpha,\beta]\) 上任一点。
设 \(\int_{\alpha}^{\beta}g(x)dx>0\)，那么
\[M \geq \frac{\int_{\alpha}^{\beta}f(x)g(x)dx}{\int_{\alpha}^{\beta}g(x)dx} \geq \mu
\]
因为 \(M \geq f(x) \geq \mu\) 是连续函数，根据介值定理，必存在一点 \(\xi \in [\alpha, \beta]\)，使得
\[f(\xi) = \frac{\int_{\alpha}^{\beta}f(x)g(x)dx}{\int_{\alpha}^{\beta}g(x)dx}.
\]
